从古典几何到现代几何

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1、从古典几何到现代几何刘建成教授西北师范大学数信学院liujc@nwnu.edu.cn2009.4.20几何原本在差不多一百年前，几何就是欧几里得。他在公元前三百年左右写了一部大书，中文叫做《几何原本》。事实上在当时的社会，几何并不被大家所注意，所以像欧几里得这样伟大的人，我们也不大知道他的生平。这本书是人类文化史上一部非常伟大、有意义的著作，它的主要结论有两个：几何原本的主要结论毕达哥拉斯定理(勾股定理)：有一直角三角形ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和。由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个正

2、方形，那么两个小正方形的面积和就会等于大正方形的面积。内角和定理：三角形三内角之和等于180°，如果以弧度(radian)为单位，也可以说三角形三内角之和等于π后人称颂毕达哥拉斯定理，说它是平面几何中最重要的定理。迄今为止，在任何有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立。三角形内角和为180˚，本质上是说平面是平坦不具有弯曲的。Legendre首先指出它等价于下面所给出的命题：Legendre毕达哥拉斯欧氏几何对后世的影响内角和定理的等价命题一直线与其它二直线相交后，假设其同侧二内角和少于二

3、直角，则沿此侧面延长此二直线，它们必会在某处相交。欧氏第五公设另一个简单的说法是：假使有一直线和线外一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和原来的直线平行（平行者，就是这两条直线不相交）这个说法即欧氏第五公设。第五公设证明的失败这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它的公理去推得平行公理。而这努力延持了两千年左右，后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实。下面是一些尝试去用欧氏其它公理去证明第五公理的人：Ptolem

4、y(168)Prolos(410-485)NasiraldinalTusi(1300)LevibenGerson(1288-1344)Cataldi(1548-1626)GiovanniAlfonsoBorelli(1608-1679)GiordanoVitale(1633-1711)JohnWallis(1616-1703)GerolamoSaccheri(1667-1733)JohannHeinrichLambert(1728-1777)AdrienMarieLegendre(1752-1833)La

5、mbertPtolemyBorelli第五公设证明的失败最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何──曲率为负常数的二维曲面。故老相传，高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其内角和是否等于180˚。高斯Bolyai羅巴切夫斯基双曲几何克莱茵（F.Klein）创造了一种解析的方法，通过赋与在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双曲几何的一个模型。后人称之为Klein模型。至此，人们终于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出来。双

6、曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间，影响到黎曼的工作。KleinModel和非欧几何的诞生球面几何球面几何：球面上当然没有“直线”，取而代之的是“大圆”------球面上以球心为圆心的的圆。“线段”则是大圆的圆弧。过球上任意不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧氏几何的体系内。球面几何球面几何：球面几何所讨论的三角形是一个球面三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大于180°，并

7、且有一个非常重要的公式：球面几何是非常有用的几何，天上（天文），地上（地理）都用得着它。要是没有球面几何学，大航海时代恐怕很难到来，谁让地球是圆的呢？球面三角形效果图双曲几何、非欧几何双曲几何：在这个情形下，三角形三内角之和是小于180°的，即有如下的重要公式：非欧几何：球面几何与双曲几何统称为非欧几何。内角和公式的解释代表非欧几何的一个绝对的度量，表示弯曲程度，叫曲率。因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理上是一个重要发展，因为爱因斯坦的相对论中，曲率＝代表一个场的力，所以几何度量和物

8、理度量便完全一样。内角和公式的解释球面几何中曲率是正的，双曲几何中曲率是负的。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于180°之情形，不再满足欧几里得的平行公理。从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它越像欧氏几何。今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比起来太小太小了。非欧几何一度被视为“幽灵”科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承认的过程。牛顿的无穷小量也好，虚数也好