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1、浅议特征向量的几何意义与应用意义摘要：本文结合老师上课所讲授的内容，首先用代数的方法推导了特征向量的几何意义，然后结合研究方向对特征向景在管理实践屮的应用进行相关讨论。一、特征向量的几何意义通过课堂讨论认识到特征M量是使M量在线性变换下不改变方I*只仲缩长度的一种变换。下面将对具体过程进行推导：设R={x=(x1,x2)
2、x1/x2ER},则R2是二维向量空问。设x=(x1/x2)ER2,y=(yi,y2)eR2.r2屮的元素化七)是平面上某点的坐标。设厂：/?2七/?2是平而/?2上的线性变换，即：F(ax+f3y、=6zF(x)4-(3F{y)其中:x,yER2;a,j3
3、eR设变换F:R24R2为F((xpx2))=(%，y2)，则F是平面/?2.卜.的线性变换的充耍条件是：b2=w2LaJ⑴由此可知，平面/?2上的线性变换F与二阶实矩阵A=(^..)2x2是相互确定的,即给出了线性变换，就可得出矩阵A，反之，给出了矩阵A，就可以写出线性变挽。线性变换的几何意义是：设＞4的行列式
4、A
5、*0,则线性变换(1)式是平而#上的线性变化，它将平而/?2上的点(x,,x2)变为唯一的一点(a,,%,+6Z12X2,«2iX,+6Z22X2)O设F:/?24/?2是向量空间/?2上的线性变换，c(1，0)和4=(0，1)是7?2的一组基，设f)=(6/1
6、1,6z21)=«11e1+a2le29](4)=(“12，^22)=“12A+^22^29/9其中：(&%)和(q2，a22)分别是向量F(e,)和F(e2)关于基e,，的坐标，(2)式写成矩阵形式是:(F(^F(
7、x2(ere2)A特征向量的定义如下：设R/?24f是向量空间7?2上的线性变换，2e/?,X是f上的非零向量,若F(x)=Ax(5)则称A是线性变换F的一个特征根，x属于特征根A的特征句量。姑然，对任tze/?，有厂⑽)=A(or)，所以or是域于特征根A的所有特征向量。因为％=所以(5)式可以写为：F(x)=F((x,,x2))=Ax=(AxrAx2)由此我们得到，平面/?2上线性变换F的特征向量x的几何意义是：特扯向量X是T面/?2上点m的径矢量，即*=況7,血点似的坐标是Cv2)，屈于特征根/I的所有特征向量OV都在巾点(0,0)和点(%,，％2)确定的宵线(9A7上
8、。因为Z^x)与x的坐标成比例，所以矢量F(x)与矢量x线性相夫，几何上，/^)与x在过原点的直线上。所以特征向量是一种伸缩变换，即向量不改变方向，只伸缩长度，仲缩程度即特征值。以上推导只证明了二阶矩阵，同理可推广到三阶矩阵，即三维空间。二、特征向量的应用意义随着大数据吋代的到来，数据分析在质量管理方面得到了广泛应用。在使用不同的启发式算法进行分析之前必须对研究对象进行处理，完成从实体到数学模型的映射，对于需耍用多指标来进行评测的对象就需耍用到特征向量。若要对不同型号进行质量水平检测，结合其产品销售情况确定需要改进的型号。首先设定需要观测的技术指标，然后通过前期的数据收集可以
9、获取每种型号产品共冇的各项技术质量特征值。比如对A型号产品的每个指标对应的值分别为k，z«2，…，这样A型号产品就具有了一个n维样本空间，这样A型号产品就具备了一个特征向量。如果对该特征向量使用启发式算法，如分类或聚类的方法，就可以得出若干分类，每一个类是处于同一质量水平的产品型号集。在这种方法中，每个型号集用一个可量化的、冇实际意义的向量表示，使分析者可以采用一些方法进行处理。此外在文本分类领域，特征A量也冇着重要应用。文本分类的第一步为特征项提取，通过朴素W叶斯、信息熵和TF-IDF等方法，根据确定的测量值来选取可以表现文本特性的特征项，然后用该测量值代替特征项完成一个文
10、本有现实世界到数学世界的映射。如对于文本T,设其有个特征项，每个特征项对应的测量值分別为rPr2则可用向量r=来表示该文木，即为该文木的特征向量。之后可以选择分类方法对文本进行处理，目前广泛运用的方法有支持向量机和KNN方法。支持向量机通过建立一个超平而来对文本进行分类，这一概念与上课讲到凸集中的超平面的概念是相一致的。目前也宥一些研究集中在如何对提取的特征h'd量进行降维从而提高运算效率和结果的准确性。这些研究都是在建立特征向量的前提下进行的。以上介绍了特征向量在管理领域的应用。类比于特征向量的儿何意
