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1、浅议特征向量的几何意义与应用意义摘要：本文结合老师上课所讲授的内容，首先用代数的方法推导了特征向量的几何意义，然后结合研究方向对特征向量在管理实践小的应用进行相关讨论。一、特征向量的几何意义通过课堂讨论认识到特征向量是使向量在线性变换下不改变方向，只伸缩长度的一种变换C下面将对具体过程进行推导：设r={x=（x1,x2）
2、xllx2eR},则R2是二维向量空间。设x=（xnx2）eR2，y=（y「y2）wRJ2屮的元索（xnx2）是平面上某点的坐标。设f：r2-^r2是平而疋上的线性变换，即：F（ax+0y
3、）=aF（x）+jffF（y）其中:x9yeR设变换F:r2Tr2为F（3,兀2））=（刃,力）‘则F是平面R2上的线性变换的充要条件是:卩1=讣+如兀2或(、Cl\厲2(、=A/、[y2=a2lx^a22x2山21°22丿6(1)由此可知，平面R2上的线性变换F与二阶实矩阵A=（勺）2x2是相互确定的，即给出了线性变换，就可得出矩阵A,反之，给出了矩阵4,就可以写出线性变换。线性变换的几何意义是：设4的行列式国工0,则线性变换（1）式是平而疋上的线性变化，它将平面疋上的点（心召）变为唯一的一点（吗曲+4
4、血卫21兀1+。22兀2）。设F：R〉TR，是向量:空间R2上的线性变换,q=（1,0）和勺=（0,1）是用的一组基，设(2)F(q)=(q],勺1)=4心+色屁，F2J=(al29a22)=al2e}+a22e2,其中:（坷［吗）和（坷2，如）分别是向量F⑷和FG）关于基勺,勺的坐标，（2）式写成矩阵形式是:(%),叫))=(“)=(弓心)人(3)iSx=(XpX2)G/?2,则尤可写成矩阵形式如下:x=(x{yx2)=xxe}+x2e2=(e19e2)从而有:(4)Ax=Ax}e}+Ax2e9=(et,
5、e2)A因为F是疋丄的线性变换，有(3)式、及(4)式得:F(x)=F(X］弓+x2e2)=x,F(e})+x2F(e2)=/、=(e^e2)A/X*"2丿(F(et),F(e2))特征向量的定义如下:设F:FtR，是向量空间疋丄的线性变换，壮R,x是疋上的非零向量,(5)F(x)=Ax则称2是线性变换F的一•个特征根，x属于特征根2的特征向量。显然，对任awR,dHO,有F{ax)=A(or),所以ox是属于特征根2的所有特征向量。因为x=(xl9x2)e/?2，所以(5)式可以写为:F(x)=F
6、((xl,x2))==(A%!,Ax2)由此我们得到，平面疋上线性变换F的特征向量x的几何意义是：特征向量x是平面疋上点M的径矢量，即x=OM,血点M的坐标是(心七)，展于特征根2的所有特征向量血都在由点、(0,0)和点(若,忑)确定的直线OM上。因为F(Q与兀的处标成比例，所以矢量F(x)与矢量兀线性相关，几何上，F⑴与兀在过原点的直线OMJL。所以特征向量是一•种仲缩变换，即向量不改变方向，只伸缩长度，仲缩程度即特征值。以上推导只证明了二阶矩阵，同理可推广到三阶矩阵，即三维空间。二、特征向量的应用意义随
7、着大数据吋代的到来，数据分析在质量管理方面得到了广泛应用。在使用不同的启发式算法进行分析之前必须对研究对象进行处理，完成从实体到数学模型的映射，对于需要用多指标来进行评测的对象就需要用到特征向量。若要对不同型号进行质量水平检测，结合英产品销售情况确定需要改进的型号。首先设定需要观测的技术指标，然后通过前期的数据收集可以获取每种型号产品共有的各项技术质量特征值。比如对A型号产品的每个指标对应的值分别为匕上‘…山}，这样A型号产站就具有了一个门维样本空间，这样A型号产品就具备了一个特征向量。如果对该特征向量使用
8、启发式算法，如分类或聚类的方法，就可以得出若干分类，每一•个类是处于同一•质量水平的产品型号集。在这种方法中，每个型号集用一个可量化的、有实际意义的向量表示，使分析者可以采用一些方法进行处理。此外在文本分类领域，特征向量也有着重要应用。文本分类的第一•步为特征项提取，通过朴索贝叶斯、信息爛和TF-IDF等方法，根据确定的测量值来选取可以表现文本特性的特征项，然后用该测量值代替特征项完成-•个文本有现实卅界到数学世界的映射。如对于文本7设其有R个特征项，每个特征项对应的测量值分别为『“，••％，则可用向量丁
9、={/“，…叮来表示该文本,即为该文本的特征向量。之后可以选择分类方法对文木进行处理，FI前广泛运用的方法有支持向量机和KNN方法。支持向量机通过建立一个超平面来对文本进行分类，这-•概念与上课讲到凸集中的超平而的概念是相一致的。H前也有-•些研究集屮在如何对提取的特征向量进行降维从而提高运算效率和结果的准确性。这些研究都是在建立特征向量的前提下进行的。以上介绍了特征向量在管理领域的应用。类比于特征向量的几何意义
