第1章复变函数习题答案习题详解

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1、第一章习题详解1．求下列复数的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：1)解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：2)解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：221)解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：2)解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：1．当、等于什么实数时，等式成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：即、时，等式成立。221．证明虚数单位有这样的性质：证明：2．证明1)证明：设，则2)证明：设，，则有：3)证明：设，，则有：4)证明：设，，则有：221)证明：设，则有2)证明：设，则1．对任何是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对

2、哪些值才成立？解：设，则有：故当，即是实数时，成立。2．当时，求的最大值，其中为正整数，为复数。解：即的最大值是3．判定下列命题的真假：1)若为实常数，则；解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。2)若为纯虚数，则；解：真命题。设，则，显然。221)；解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。2)零的幅角是零解：假命题。复数的幅角是任意的，也是无意义的。3)仅存在一个数，使得；解：假命题。有两个数，使成立。4)；解：假命题。设有两个数，使不成立。5)解：真命题。1．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：1)解：，2)解：，3)解：，4)解：

3、22另：另：1)解：，2)解：1．将下列坐标公式写成复数的形式：1)平移公式：解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：22即：1)旋转公式：解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：1．一个复数乘以，它的模与辐角有何改变？解：设即：一个复数乘以，它的模不变，辐角减小。2．证明：，并说明其几何意义。证明：几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。3．证明下列各题：1)任何有理分式函数可以化为的形式，其中与为具有实系数的与的有理分式函数；证明：设，则：，其中，，，，皆为关于的实系数多项式。

4、22其中：，为具有实系数的关于的有理分式函数。1)如果为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么；证明：因为为具有实系数的有理分式函数，所以其中：，2)如果复数是实系数方程的根，那么也是它的根。证明：令因为是方程的根，又因为的系数为实数，因此。即也是方程的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。1．如果，证明：1)证明：2)证明：221．求下列各式的值：1)解：2)解：3)解：即：，，，，，4)解：即：，，2．若,试求的值。解：221．1)求方程的所有根；解：即：，，2)求微分方程的一般解。解：微分方程的特征方程为：。由前题得：，，微分方程有三个

5、线性无关的特解：，，微分方程有三个线性实数特解：，，一般解为：2．在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置：解：3．已知两点与（或已知三点），问下列各点位于何处？1)；解：位于与连线的中点。2)，其中为实数；解：位于与连线上，其中。221)。解：位于以,,为顶点的三角形的重心上。1．设三点适合条件，。证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证明：（方法一）,,位于以原点为圆心的单位圆上。令，，其中。，，或同理可得：或分析：如果，，则；如果，，则与矛盾。。同理。是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法二）,,位于以原点为圆心的单位圆

6、上。同理：，。于是22是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法三）,,位于以原点为圆心的单位圆上。是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法四）,,位于以原点为圆心的单位圆上。设而同理，即同理，是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法五）设，则是该方程的三个根。而，22所以是的三个根，即分别是复数的三次方根。又因为，所以均匀地分布在单位圆上，即是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法六）如右图所示：所以为等边三角形。同理可知为等边三角形，于是有：同理，，所以均匀地分布在单位圆上。命题得证。1．如果复数满足等式，证明，并说明这些等式的几何意义

7、。证明：且是等边三角形的充分必要条件是22因此，满足的点，，为顶点的三角形是等边三角形，必有1．指出下列各题中点的轨迹或所在范围，并作图：1)；解：设，则即是以为圆心，半径为6的圆周。2)；解：设，则即是以为圆心，半径为1的圆周及其外部。3)；解：设，则即是平行于y轴的通过的直线。4)；解：设，则即是平行于x轴的通过的直线。5)；解：设，则即是平行于x轴。6)；解：设，则即是以，为焦点，长的半轴为2，短半轴为的椭圆。7)；解：设，则22即是过的平行于x轴的直线及其下半平面。1)；解：设，则即是去掉过的半平面。2)；解：满足的图形是不包含实轴的上半

8、平面。3)。解：设，则即是以为端点的射线，。1．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：1