与圆有关的证明及计算提优练习

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1、与圆有关的证明及计算提优练习1.(2016上海)已知:⊙O是△ABC的外接圆,=,点D在边BC上,AE∥BC,AE=BD.(1)求证:AD=CE;(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形. 第1题图2.(2016沈阳)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长.(结果保留π) 第2题图3.(2016盐城射阳县二模)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,D是劣弧AC上的点(不与点A、C重

2、合),延长BD至E.(1)求证:AD的延长线DF平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+,求⊙O的面积. 第3题图4.(2016南京一模)如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.(1)求证:∠CAD=∠BAC;(2)如图②,若把直线EF向上移动,使得EF与⊙O相交于G,C两点(点C在点G的右侧),连接AC,AG,若题中其他条件不变,这时图中是否存在与∠CAD相等的角?若存在,找出一个这样的角,并证明;若不存在,说明理由. 第4题图5.(2016南通启东市二模)如图,已知扇形AOB中,∠AOB=120°,弦AB=2,

3、点M是上任意一点(与端点A、B不重合),ME⊥AB于点E,以点M为圆心、ME长为半径作⊙M,分别过点A、B作⊙M的切线,两切线相交于点C.(1)求的长;(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变?若不变,请求出∠ACB的大小;若改变,请说明理由. 第5题图6.(2016曲靖)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC=5,BC=13,求⊙O的半径.(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF,若∠F=2∠B,求证:四边形ACEF是菱形. 第6题图7.(2016呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线

4、,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:∠FBC=∠FCB;(2)已知FA·FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长. 第7题图8.(2016昆明)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是⊙O的切线;(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π). 第8题图9.(2016徐州模拟)如图,已知△ABC中,AB=6,AC=8,点D是BC边上一动点,以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F.(1

5、)如图①,若∠AEF=∠C,求证:BC与⊙O相切;(2)如图②,若∠BAC=90°,BD长为多少时,△AEF与△ABC相似. 第9题图10.(2016包头)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF;(3)若AE=1,EB=2,求DG的长. 第10题图答案1.证明:(1)在⊙O中,∵=,∴AB=AC,∵∠B=∠ACB,∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC,在△ABD和△

6、CAE中,,∴△ABD≌△CAE(SAS),∴AD=CE;(2)如解图,连接AO并延长,交BC于点H,在BC上找一点G,连接AG,使AG=AD,第1题解图∵=,OA为半径,∴AH⊥BC,∴BH=CH,∵AD=AG,∴DH=HG,∴BH-DH=CH-GH,即BD=CG,∵BD=AE,∴CG=AE,∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.2.(1)证明:如解图,连接OD,第2题解图∵DF是⊙O的切线,D为切点,∴OD⊥DF,∴∠ODF=90°,∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∴∠CFD=∠ODF=90°,∴DF⊥AC;(2)解:∵∠CDF=30°,由(

7、1)得∠ODF=90°,∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°.∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴的长===π.3.(1)证明:∵A,B,C,D四点共圆,∴∠ABC+∠ADC=180°,又∵∠ADC+∠CDF=180°,∴∠CDF=∠ABC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,∵∠ADB=∠EDF,∴∠EDF=∠CDF,即AD的延长线DF平分∠CDE;(2)解:如解

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