与圆有关的证明及计算提优练习

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1、与圆有关的证明及计算提优练习1.(2016上海)已知：⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.(1)求证：AD＝CE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．　第1题图2.(2016沈阳)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求的长．(结果保留π)　第2题图3.(2016盐城射阳县二模)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，D是劣弧AC上的点(不与点A

2、、C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求⊙O的面积．　第3题图4.(2016南京一模)如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．　第4题图5.(2016南通启东市二模)如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，

3、弦AB＝2，点M是上任意一点(与端点A、B不重合)，ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C.(1)求的长；(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．　第5题图6.(2016曲靖)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径．(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．　第6题图7.(2016呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外

4、角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：∠FBC＝∠FCB；(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．　第7题图8.(2016昆明)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．　第8题图9.(2016徐州模拟)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交A

5、B、AC于点E、F.(1)如图①，若∠AEF＝∠C，求证：BC与⊙O相切；(2)如图②，若∠BAC＝90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．　第9题图10.(2016包头)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．　第10题图答案1.证明：(1)在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∵∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴

6、∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE；(2)如解图，连接AO并延长，交BC于点H，在BC上找一点G，连接AG，使AG＝AD，第1题解图∵＝，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．2.(1)证明：如解图，连接OD，第2题解图∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC

7、；(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴的长＝＝＝π.3.(1)证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CDF＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，∵∠ADB＝∠EDF，∴∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE；(2)解：如解