基于状态反馈的单输入系统极点配置方法

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1、基于状态反馈的单输入系统极点配置方法　　基于状态反馈的极点配置其主要思想是将系统的所有的状态变量信息通过反馈增益矩阵反馈到输入端与参考输入相作用，其结果作为受控系统的控制输入。通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点设置在所希望的位置上。　　采用状态反馈任意配置闭环系统极点的充分必要条件是系统状态完全能控。这从工程意义上非常容易理解，因为只有系统状态完全受输入量的控制，才能通过状态反馈完全改变原系统的特性，以实现系统极点的任意配置。若系统状态不完全能控，则只能通过状态反馈任意配置能控部分的状态所对应的系统的极点。相关的理论证明请参阅有关的自动控制原理教材。因状态反馈回路的信号引出点是每一

2、个状态变量，所以要求系统的全部状态均可直接量测。当系统的某些状态不可直接量测(如某些状态变量不是有实际意义的物理量)时，需要设计状态观测器先将不能直接量测的状态观测出来，然后再进行反馈。这种方法将在7.5节中讲述。在本节中先讨论系统全部状态均可直接量测情形。　　设被控系统如图7.3所示。　　　　　　　　　图7.3被控对象结构图　　其状态方程为　　　　　(7.47)　　式中，x(k)为k时刻的n维状态向量；u(k)为k采样时刻的控制信号；A为n×n维矩阵；b为n×1维列向量。采用如下形式的状态反馈　　　　　(7.48)　　式中，为状态反馈增益矩阵，v(k)为参考输入。将式(7.48)应用于式

3、(7.47)中，构成如图7.4所示闭环系统，　　　　图7.4状态反馈闭环系统　　可以表述为　　　　　(7.49)　　若系统(A,b)是完全能控，则采用上述状态反馈得到的闭环系统的极点可以任意配置。　　因(A,b)能控，不妨假设它已是能控标准型(若不是，可通过非奇异非线性变换转换成能控标准型)。　　　　　(7.50)　　则经过状态反馈后的闭环系统的状态矩阵和输入矩阵分别为　　　　　(7.51)　　闭环系统特征方程为　　　　(7.52)　　设闭环系统的期望极点为，则系统的期望特征方程为　　　　　(7.53)　　欲使引入了状态反馈的闭环系统极点能被配置成期望值，可令式(7.52)和(7.53)

4、中的各项次幂系数对应相等，即　　　　　　(7.54)　　即可得到状态反馈增益矩阵。　　式(7.52)、(7.53)和(7.54)给出了状态反馈增益矩阵的设计步骤，这也适合于系统不是能控标准型时的更一般形式系统的设计。　　比较式(7.50)和(7.51)，易知能控标准型经过状态反馈后依然是能控标准型。也就是说系统的能控性并不因引入了状态反馈而有所改变。但引入了状态反馈改变了闭环系统极点的位置，可能引起闭环系统零、极点的对消。根据定理7.4，如果在系统中发生了零、极点对消现象，而系统能控性不产生变化，那么，系统的能观性必然会发生变化。因此有下面的重要结论存在。　　定理7.6对于系统(7.4)，

5、状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观性。　　〖例7.5〗已知二阶系统为　　　　要求闭环极点为，试设计状态反馈增益矩阵。　　解期望闭环特征方程为　　　　(7.55)　　令状态反馈增益矩阵，则引入状态反馈后系统闭环特征方程为　　　　(7.56)　　令方程(7.55)和(7.56)中的各次幂项系数相等，得　　　　解得。　　极点配置方法主要的设计参数是采样周期T和选取闭环极点的位置。关于平面闭环极点的期望位置，前面章节也已作了讨论，特别要注意选取主导极点的位置。极点位置的选取需反复地进行，直到得到满意的系统性能为止