计算机图形学（三维几何变换）

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1、第4章变换和裁剪本章的目的用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如平移、放缩、旋转等如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉22009-2010-2:CG:SCUEC4.1变换的数学基础4.2图形显示中的基本概念4.3几何变换4.4裁剪主要内容32009-2010-2:CG:SCUEC点和距离矢量矢量和、矢量的数乘、矢量的模、单位矢量、矢量的点乘、矢量的叉乘矩阵矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、单位矩阵、矩阵的转置、矩阵的逆变换的数学基础）42009-2010-2:CG:SCUE

2、C4.2图形显示中的基本概念1、图形数字化（图形数字建模）为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数字化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也是以数字的形式进行加工和处理的。坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使显示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标系。图形的数字化图形操作图形输出计算机处理图形的过程计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：62009-2010-2:CG:SCUECZv模型坐标系世界坐标系XYZx1y1z1x2y2z2观察坐标系Yv观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需要从不同角度对图形进行观察，需要产生不同角度的视图，如果在世界坐标系

3、中产生不同角度的视图，投影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可根据视图所在的投影平面建立一个新的坐标系，称为观察坐标系，使世界坐标系中的任意投影平面为观察坐标系中的平面。把世界坐标系中的图形变换到观察坐标系中，从而可大大简化投影变换。计算机处理图形的过程92009-2010-2:CG:SCUEC视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形区域。一般是一个四棱台或四棱柱。图4.5视见体、窗口和视口V′X′Y′U′视口屏幕窗口投影平面视点XYZ近平面远平面窗口:视见体投影到投影平面上形成的一个矩形视口：在投影平面上形成X′Y

4、′U′V′。为了在屏幕或绘图纸上指定显示图形的位置，需要在其上定义一个矩形，该矩形称为视口。计算机处理图形的过程102009-2010-2:CG:SCUEC3、图形输出：计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也就是把投影平面中的投影图形输出在输出设备上，需要在输出设备上建立一个坐标系。设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系，输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐标系。有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标范围限定在区间{x,y,z

5、0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}内，称为标准化设备

6、坐标系计算机处理图形的过程112009-2010-2:CG:SCUEC近平面近平面图形的显示流程对窗口剪裁窗口至视口的变换显示或绘图世界坐标系的三维变换投影计算机处理图形的过程122009-2010-2:CG:SCUEC4.3几何变换观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变，我们会看到不同的画面。1.观察角度的改变-取景变换2.物体位置的改变-模型变换(几何变换)两种变换本质是相同的,取景变换是可以用模型变换来实现的,不过有时用一种方法考虑比另一种方法考虑更容易一些。这里只讨论模型变换。复杂的图形变换都可以归结为对点的变换，后面的变换都是针对空间中任意点的。因为二

7、维变换是三维变换的特例，下面仅讨论空间中的三维变换。模型变换说明142009-2010-2:CG:SCUEC总结以上这些变化后的图形结果，可以得到如下的结论：1、图形变化了，但原图形的构成规则(拓扑关系)没有改变；2、图形发生的变化，是因为其顶点位置(几何关系)的改变决定的。这种通过维持图形的拓扑关系不变，而仅改变图形的几何关系来实现图形改变的方法，称之为图形的几何变换。先看看图形的几种常见变化：几何变换的概念152009-2010-2:CG:SCUEC点p’(x′,y′,z′)由点p(x,y,z)在x,y和z轴方向分别移动距离Δx,Δy和Δz得到。两点坐标间的关系

8、为其矩阵形式为x′=x+Δxy′=y+Δyz′=z+Δz基本变换－平移pP’162009-2010-2:CG:SCUEC放缩设点A(x,y,z)经缩放变换后得点A’(x′,y′,z′),两点坐标间的关系为基本变换－放大和缩小AA’172009-2010-2:CG:SCUEC以图形中心为中心的缩放以图形中心为中心的缩放变换为了使缩放变换后的图形仍在原位置附近，可另外定义一个相似中心点(xp,yp,zp).先把整个图形沿x,y和z方向平移–xp,–yp和–zp,相似中心就移到了坐标原点.(xp,yp,zp)以图形中心为中心进行缩放的步骤基本变换－放大和缩小18200