小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

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1、word资料下载可编辑任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工

2、湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．(？？？)【例2】四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形专业技术资料word资料下载可编辑的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：

3、⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴

4、，∴．【例1】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求的面积；⑵求的面积。【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．【例2】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？专业技术资料word资料下载可编辑【解析】在，中有，所以，的面积比为。同理有，的面积比为。所以有×=×，也就是说在所有凸四

5、边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷。显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例1】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为。【解析】连接、、。则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：．所以，所以．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。【解析】因为，且∥，所以，，．【例2】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，

6、，，求三角形的面积．专业技术资料word资料下载可编辑【解析】连接．因为，，所以．因为，根据蝴蝶定理，，所以．所以，即三角形的面积是．【例1】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【例2】如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．【解析】设与的交点为，连接、．由蝴蝶定理可知，而，，所以，故．专业技术资料word资料下载可编辑由于为中点，所以，故，．由蝴蝶定理可知，所以，那

7、么（平方厘米）．【例1】如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是．【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得设，根据共边定理我们可以得，，解得．【例2】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【解析】如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．连接、、．设的面积为”“，则面积为”“

8、，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为．根据蝴蝶定理，，故，，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为专业技术资料word资料下载可编辑(平方厘米)．专业技术资料word资料下载可编辑板块二梯形模型的应用梯形