小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

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1、任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BC①S:SS:S或者SSSS12431324②AO:OCSS:SS1243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

2、6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S3121.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平△AOD方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？【解析】⑴根据蝴蝶定理，S123，那么S6；BGCBGC⑵根据蝴蝶定理，AG:GC12:361:3．(？？？)【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的4-2

3、-3任意四边形、梯形与相似模型题库page1of171面积的，且AO2，DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。3DDAAGHOOBCBC【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S:S1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已ABDBCD知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，

4、面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵AO:OCS:S1:3，ABDBDC∴OC236，∴OC:OD6:32:1．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．1∵SS，ABDBCD31∴AHCG，31∴SS，AODDOC31∴AOCO，3∴OC236，∴OC:OD6:32:1．【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求△OCF的

5、面积；⑵求△GCE的面积。ADOFGBEC【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628，所以△OCF的面积为844；⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为862，根据蝴蝶定理，EG:FGS:S2:41:2，所以S:SEG:FG1:2，COECOFGCEGCF112那么SS2．GCECEF1233【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？4-2-3任意

6、四边形、梯形与相似模型题库page2of17D6C6E77AB【解析】在ABE，CDE中有AEBCED，所以ABE，CDE的面积比为(AEEB):(CEDE)。同理有ADE，BCE的面积比为(AEDE):(BEEC)。所以有S×S=S×S，也就是ABECDEADEBCE说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即S6=S7，所以有ABE与ADE的面积ABEADE76比为7:6，S=3921公顷，S=3918公顷。ABEADE6767显然，最大的三角形

7、的面积为21公顷。【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为。【解析】连接AD、CD、BC。43则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：112，ACD的面积为：313.5，224ABD的面积为：213．24412所以BO:ODS:S2:3.54:7，所以SS3．ABCACDABOABD471