同余在日常生活中及算术和数论上的应用

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1、同余在日常生活中及算术和数论上的应用猜猜星期几的游戏你知道1979年8月16日是星期四，你能不能知道在8月的任何一天是星期几呢？比方说，你知道8月26日是星期几呢？读者如果一下子想不出来，不要紧。让我们再看另外一个问题，这是比较容易，而你多数会算出来的。先看最容易的问题：假定你读到这段文字时，你的手表是早上9点，在两个钟头前是多少点呢？你会笑道说：“这是比喝水还容易的问题9-2=7，这是7点嘛！”好！我再请你考虑另外一个问题，过了十三个钟头后，那是几点呢？这时你会说9+13=22，22要减掉12得10，于是你会说是10点。如果你会这样算，你就是相当有数

2、学头脑的人。现在你再试试这个问题：在28小时之后，手表是指多少点呢”你可以试试9+28=37，这时37要减掉同余在日常生活中及算术和数论上的应用猜猜星期几的游戏你知道1979年8月16日是星期四，你能不能知道在8月的任何一天是星期几呢？比方说，你知道8月26日是星期几呢？读者如果一下子想不出来，不要紧。让我们再看另外一个问题，这是比较容易，而你多数会算出来的。先看最容易的问题：假定你读到这段文字时，你的手表是早上9点，在两个钟头前是多少点呢？你会笑道说：“这是比喝水还容易的问题9-2=7，这是7点嘛！”好！我再请你考虑另外一个问题，过了十三个钟头后，那

3、是几点呢？这时你会说9+13=22，22要减掉12得10，于是你会说是10点。如果你会这样算，你就是相当有数学头脑的人。现在你再试试这个问题：在28小时之后，手表是指多少点呢”你可以试试9+28=37，这时37要减掉3×12=36，因此得1，即1点整。解这个时钟问题的方法是这样：现在的时间若是A，问你经过B小时后，手表的钟点数。你只要先算A+B，然后就给12除，余数就是手表的钟点数。以上的猜星期几的问题，事实上和这个算钟点的问题是一模一样的，我想你现在或许可以算到1月16日是星期几吧？我这里讲我是怎么样考虑这个问题。假定某年1月6日是星期二，我们要知道

4、18天后是星期几。我就画七个格子，顺时针方向算上一、二、三、四、五、六、日。　　然后我引着顺时针方向从有“三”的格子开始算1，2，3，…至到18。看算到18时落在格子“六”，我就知道是星期六。你看了会哈哈大笑：“这有什么稀奇，我也会这样算。”好，现在让我告诉你一个秘密，我不是用以上的那种笨方法，我是有一个稍微聪明的方法：我把18用7除，然后看它的余数是多少18÷7=2还乘4，于是我就把星期二，写成星期即星期六，就是所求的星期。因为从第三格开始，每算到7，就会回到第二格，因此我只要知道天数除7后的余数就行了。同余的重要性质现在让我们翻翻在1801年出版的

5、德国大数学家高斯写的书：《算学研究》。在这书里他第一次介绍了数学上的一个很重要的等价关系——同余的概念。我们给一个定正整数m，我们说两个整数a，b是与m同余，如果a-b能被m整除。用数学符号表示a≡b读着“a与b和m同余”或“以m为模a和b同余”。如果a-b不是m的倍数，我们就说“a与b不和m同余”写成ab。例如7≡32，而85我刚才说同余是一个等价关系；主要是指它有这样的三个性质：反身性a≡a，对于所有的a，对称性：a≡b则有b≡a，传递性：由a≡b及b≡c我们可以推导到a≡c。这性质可以把整数划分成几类，我们常说的“物以类聚”在数学中也常见到。比方

6、说，我们给定m=3，根据这同余我们就可以把整数分成三类：第一类、所有3的倍数，我们写成[0]3，即x在[0]3当且仅当x≡0；第二类：所有形如3k+1的数，写成[1]3我们说x在[1]3当且仅当x≡1；还有第三类是[2]3，即所有形如x≡2的整数x。现在我们把这种“气味相同，志趣相投”的数放进三个格子里去：　　你会发现这些格子里的数有这样的性质：如果a是在[p]3，b是在[q]3里，那么a+b一定落在p+q所在的格子里，比方说4在[1]3里，2在[2]3里，那么4+2=6就要在1+2=3所在的格子即[0]3里。对于乘也有这样的性质，你看如果a在[p]3

7、里，b在[q]3里，那么a×b要在p×q所在的格子里。以上的这些性质，用同余是可以表示为：“如果我们有a≡b，c≡d则一定会有：a±c≡b±d及a×c≡b×d。”这是同余的一个很重要的性质，因此如果a≡b我们一定会有an≡bn这里n是任意整数。我们前面讲的日常生活中的星期几，事实上就是以7为模的同余的概念，而我计算星期几的方法事实上就是用到以上同余的性质。你可知道同余还有许多用处吗？古代印度的传说据说现在的国际象棋是印度人发明的。有一个故事是说这个发明象棋的聪明人，把他的发明献给印度国王，这个“饱食终日”的国王最喜欢有可以消遣的东西，因此他命令他的大臣

8、拿珠宝黄金给这个聪明人。这个聪明人却表示他不想要黄金、珠宝。他只要麦粒，而他的要求是不多不少：