对坐标的曲面积分

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1、对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算方法三、两类曲面积分之间的联系一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.说明:(1)稳定流动.(2)不可压缩流体.(3)有向曲面.观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧莫比乌斯带(单侧曲面的典型)曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面,其方向用法向量指向表示:方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0

2、为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定xyzO在曲面的上侧cosg>0，)g在曲面的下侧cosg<0．g(例如:由方程zz(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧，•设为有向曲面,其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定解决方法:微积分思想大化小,常代变,近似和,取极限.(1)若是面积为S的有向平面,法向量:流速为常向量:则流量(2)若是一般的有向曲面,法向量:则流量xyzOV(x,y,z)S设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第

3、二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;说明:(1)流过有向曲面的流体的流量为(2)三个对坐标的曲面积分之和的简记形式：如果S是分片光滑的有向曲面，则规定:函数在S上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和．(3)在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：(4)存在条件:(2)用ˉ表示的反向曲面,则3.性质(1)若之间无公

4、共内点,则二、对坐标的曲面积分的计算方法定理:设光滑曲面是上的连续函数,则其中如果取曲面∑的上侧,则二重积分号前带正号;如果取曲面∑的下侧,则二重积分号前带负号．证:说明:•若则有(前正后负)•若则有(右正左负)顺口溜:一投二代三定向计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧，把有向曲面分成以下六部分：的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；例34.1.解：的左侧.abxyzOc除外，其余四片曲面在yoz面上的投影为0，因此：类似地可得：于是所求曲面积分为：解:例34.2计算其中Σ是球面1222=++zyx外侧在0,0

5、³³yx的部分.取下侧;取上侧;三、两类曲面积分之间的联系(对坐标的曲面积分)(对面积的曲面积分)事实上,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画注:向量形式记有向曲面的单位法向量为令则(A在n上的投影)位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E通过球面:r=R外侧的电通量.例34.3.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:例34.4.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.例34.5.原式=设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有例34.6.内

6、容小结定义:1.两类曲面积分及其联系性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.求取外侧.解:注意±号其中备用题例34.7.

7、利用轮换对称性莫比乌斯全名：奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（AugustFerdiUsMobiUs，1790－1868年）是德国数学家、天文学家。1790年11月17日生于德国瑙姆堡附近的舒尔普福塔。1808年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。1868年9月26日卒于莱比锡。莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域。在数学方面,首先是他对19世纪射影几何学的影响。莫比乌斯发展了射影几何学的代

8、数方法。他在《重心计算》（1827年）一书中，创立了代数射影几何的基本概念------齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。他较早对拓扑学作深入的探讨并给出恰当的提法。此外，莫比乌斯对球面三角等其它数学分支也有重要贡献。公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起