数模(差分方程模型).pdf

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1、第七章差分方程模型第七章差分方程模型第一节差分方程基本的基本概念与性质第二节市场经济中的蛛网模型第三节简单的鹿群增长模型第四节减肥计划——节食与运动第五节差分形式的阻滞增长模型第六节按年龄分组的种群增长第一节差分方程的概念及性质一.差分的定义与运算法则1.差分的定义设函数yf(x).当x取非负整数时，函数值可以排成一个数列:f(0)，f(1)，，f(n)，f(n1)，将之简记为y，y，y，，y，y,012nn1称函数的改变量yy为函数y的差分，n1n也称为一阶差分，记为yyy.nn1n函数yf(n)的二阶差分为函数y的一阶差分的差分,即2y

2、(y)(yy)nnn1n(yy)(yy)n2n1n1ny2yyn2n1n同样可定义三阶、四阶差分：3243y(y),y(y)nnnn高阶差分：二阶及二阶以上的差分.22232例1求(n),(n),(n).解设2，则yn222y(n)(n1)n2n1n222y(n)(2n1)n2(n1)1(2n1)2332y(n)220n例2求yn!的一阶差分，二阶差分.解yyynn1n(n1)!n!nn!2yynn!nn(n

3、1)(n1)!nn!2(nn1)n!2.差分的四则运算法则(1)(Cy)Cy(C为常数)nn(2)(yz)yznnnn3yzyzzyyzzynnn1nnnnnn1nyzyyznnnnn4zzznnn1可参照导数的四则运算法则学习二差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶定义12含有未知函数的差分y,y,的函数方程nn称为差分方程.2m形式：F(n,y,y,y,,y)0nnnn定义2：含有未知函数两个或两个以上时期的符号y,y,的方程，称为差分方程.nn

4、1形式：F(n,y,y,,y)0nn1nm或G(n,y,y,,y)0(k1)nn1nk方程中未知数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。如y4y3y20是三阶差分方程；n5n3n23yy10，虽然含有三阶差分，nn但实际上是二阶差分方程，由于该方程可以化为y3y3y10因此它是二阶差分方程，n3n2n1事实上，作变量代换tn1，即可写成y3y3y10.t2t1t2.差分方程的解如果函数y(n)代入差分方程后，方程两边恒等，则称

5、此函数为该差分方程的解.差分方程的通解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.初始条件为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.差分方程的特解通解中任意常数被初始条件确定后的解.引例1：Fibonacci数列问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…总数1

6、123581321…将兔群总数记为f,n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{f}nn满足下列递推关系：f=f=1,f=f+f,n=0,1,2,…01n+2n+1n这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱2.钢琴音阶的排列3.树的分枝4.杨辉三角形引例2：日常的经济问题中的差分方程模型1）.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用a表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列n就是你每年的存款额：a0,a

7、1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于a=a+ra,因此存款问题的数学模型n+1nn是：a=1000,0a=(1+r)a,n=1,2,3,…n+1n2）.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为a，每年向银行存入x元，依据复利n率