同角三角函数的基本关系及诱导公式

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1、第二讲同角三角函数的基本关系及诱导公式重点难点重点:①掌握同角三角函数的关系公式.②掌握-α,π±α,2π-α,±α的诱导公式.难点:①诱导公式的规律性.②公式的综合运用.知识归纳1.同角三角函数的基本关系(1)倒数关系:tanα·cotα=;(2)商数关系:=;=;(3)平方关系:sin2α+cos2α=;1tanαcotα12.三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容-απ-απ+α2π-α2kπ+α(k∈Z)-αsin-sinαsinα-sinα-sinαsinαcosαcoscosα-cosα-cosαcosαcosαsinα(2

2、)诱导公式的规律诱导公式概括为:±α(k∈Z)的正弦、余弦值,当k为偶数时,得角α的同名三角函数值;当k为奇数时,得角α相应的余函数值,然后放上把角α看成锐角时原函数所在象限的符号;可概括为“奇变偶不变,符号看象限.”误区警示1.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余3种三角函数值时,如果应用平方关系,就要进行分类讨论,先确定角的终边所在的象限,再确定三角函数值的符号.要注意公式的合理选择和方法的灵活性.2.在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时,要注意用“是否是同角”来区分和选用公式.3.在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时,应

3、注意公式中符号的选取.应用公式时把角α看成锐角,如果出现kπ±α的形式时,常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论,以确定角所在的象限.4.要熟记特殊角的三角函数值.解题技巧1.怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值,主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数,其一般步骤是:(1)负化正:当已知角为负角时,先利用-α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值;(2)正化主:当已知角是大于360°的角时,可用k·360°+α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°,360°)上的角的三角函数值;(3)主化锐:当已知

4、角是90°到360°间的角时,可利用180°±α,360°-α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果).2.证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要方法有:(1)化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角公式及变形技巧,逐步变形到等式的另一边.(2)左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边分别变形化简,得到同一个式子.(3)转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简化证明过程.3.“1”的代换在求值、化简、证明时,常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算,

5、使问题得以简化.常见的代换如下:1=sin2α+cos2α1=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α1=cosα·secα=sinα·cscα1=tan45°=tanα·cotα=cot45°1=(sinα+cosα)2-2sinαcosα等等.4.三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值,把角看成锐角构造相应的直角三角形.,求出该锐角的各三角函数值,再添上符号即可.点评:记住常用的勾股数组非常方便.常用的有:①3,4,5②5,12,13③7,24,25④8,15,17以及它们的倍数,如3k,4k,5kk∈N+.(08

6、·浙江理)若cosα+2sinα=-,则tanα=()A.B.2C.-D.-2解析:将已知等式两边平方得cos2α+4sin2α+4sinαcosα=5(cos2α+sin2α),化简得sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0,即(sinα-2cosα)2=0,故tanα=2.答案:B[例2]当且仅当θ在什么范围内取值时,等式=cotθ-cscθ成立?化简:分析:“脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下能成为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用分式的性质可以达到目标.点评:注意变形的技巧,对于.我们可以分子、分母同乘

7、以1+sinα,也可以分子、分母同乘以1-sinα,但分母变为“单项式”更方便些,故选择同乘以1+sinα.[例3]已知α是第三象限的角,且(3)∵-1860°=-5×360°-60°∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-5×360°-60°)=-cos(-60°)=-cos60°=-.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+α),其中a,b,α∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2009)=5,则f(2010)等于()A.4B.3C.-5D.5解析:∵f(2009)=asin(2009π+α)+

8、bcos(2009π+α)=-asinα-bcosα=5,∴asinα+bcosα=-5.∴f(2010)=asinα+bcosα=-5.答案:C只需证:2(1+sinα)(1+cosα)=(1+sinα+

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