量子力学讲义第8、9、10章

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1、第三篇对称性与不变性对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性→牛顿力学的基石之一。洛仑兹变换下的不变性→相对论的基石之一。对称性←→守恒律（量）21世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称~“矛盾”？！（参见李政道《物理学的挑战》）本篇主要内容：1、转动对称性问题~自旋与角动量；2、粒子交换对称性问题~全同粒子问题；3、时空交换对称性问题~对称性与守恒律问题。第八章自旋与角动量8.1电子自旋1925年实验提出→1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。自旋~描述微观粒子特征的基本物理量。一、关于自旋的实验事实（原子物理已讨论）①纳黄线的精细结构；②复杂（反

2、常）塞曼效应；③斯特恩-盖拉赫实验。→为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）。二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上（取作z轴）的投影只能取两个值。2、每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为。自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率：~朗德因子。与轨道角动量的回转比率比较：~朗德因子，知。注意：轨道角动量有经典对应~，自旋角动量没有经典对应。如果设想为经典自转→违背相对论。自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念）8.2自旋算符与自旋波函数问题：自旋算符如何定义？自旋如何描述？基本思路~由对易关系定义算符。（无经典对应）已知“轨

3、道”：。一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值定义：实验表明：。类比：~角量子数。有~自旋量子数。二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令~泡利算符。反对易关系：。易知三、自旋算符在表象的矩阵表示表象中。现在求：令①：。②：。③：，取最简形式，有。④。这样自旋算符的矩阵表示就全部求出：相应的泡利矩阵为：四、电子自旋波函数取-表象：有即，。取有，构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成。其中，~电子自旋向上的几率；~电子自旋向下的几率。归一化要求有。引导学生自学教材P290-293的例题1-3。例：教材P294例4。（只讲思路，不讲计算细节）求的本征函数和本征值。求该本征态中

4、的可能值、相应几率和平均值。解：。本征值方程为。由久期方程。将代入方程求a，得由归一化条件，得。于是有。同理得。将用展开，的几率；的几率。于是有。同理讨论的相关问题。作业：习题8.2、2，3，4，6。8.3泡利方程磁共振（重点讲清思路，不推导细节）一、考虑自旋后的电子波函数将用展开，系数为的函数：。二、考虑自旋后的力学量算符一般形式：。三、泡利方程将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况。自旋磁矩~泡利方程。四、用分离变量法求解泡利方程令。设~定态。（关于，前面已经讨论，本章注意力在自旋问题）五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动：~守恒，电子的自旋状态要发生变化

5、（高能态低能态），必然要与外界交换能量。2、再加上正弦场：。令，由可得。3、电子自旋共振：若t=0时，电子处于自旋向下态，即。当外场（称为拉莫频率）时，有。此式表明，当时，电子自旋向上的几率为1，自旋向下的几率为0。比较：→→z轴反转，能级跃迁。→可见，在半周期，与外界交换能量。这种在静磁场作用下，电子的磁能级分裂，并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象，称为电子自旋共振。可用类似的方法讨论核磁共振（自学教材或参考有关文献）。8.4角动量算符的基本性质（一般性讨论~代数法的实例）一、角动量算符的定义式：。二、角动量算符的本征值谱设1、引入新算符一系列对易关系~见教材

6、P307（9）（10）（11）。由此可得2、的本征值为①设m的上限为j，则。②相邻的：。可见是的本征矢，本征值为，即有。同理有。个。3、的本征值为①∵j为m的最大值，将作用于，并利用，有②j的取值范围：设m有N个值，且已知，可见，j取零、整数和半整数。如轨道角动量j=l，电子自旋角动量。三、表象中角动量的矩阵表示已知。问题：由（1）（2）的非零矩阵元为对（1）式两边取共轭：，两边同乘以（1）式：，取实部。非零矩阵元，取共轭。再利用与的关系，得到非零矩阵元：，。作业：习题8.3、1，2，4；习题8.4、3。8.5两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系。。二、总角动量的本征值与本

7、征矢1、无耦合表象与耦合表象无耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有2、两种表象基矢之间的关系~C-G系数将用{}展开~给定：~称为C-G系数，它是由“无耦合表象”到“耦合表象”的么正矩阵元。只要知道了C-G系数，就可以建立起两种基矢的关系。*三、C-G系数的求法及应用1、C-G系数不为零的条件（我们只给出结果，证明见教材）①；②。2、C-G系数的计算，C-G系数表（计算非常复杂，实用中可直接查表~略）。*8.6光谱的精细结构耦合