2017年全国高中数学联赛a卷和b卷试题和答案(word版)

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1、2017年全国高中数学联赛A卷　　一试一、填空题1.设是定义在上的函数，对任意实数有.又当时，，则的值为__________.2.若实数满足，则的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是　　　　　。5.正三棱锥P-ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面α将其体积平分，则棱PC与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，

2、则这三点中存在两点之间距离为的概率为__________.7.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列满足：，对任意正整数，有，，则的所有可能值为__________.二、解答题9.设为实数，不等式对所有成立.证明：.10.设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.11.设复数满足，，且（其中表示复数的实部）.（1）求的最小值；（2）求的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在中，，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同于点）.设与交于点.证明：二.设数列定义

3、为，.求满足的正整数的个数.三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设均是大于1的整数，，是个不超过的互不相同的正整数，且互素.证明：对任意实数，均存在一个，使得，这里表示实数到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列中，，，则的值为.2.设

4、复数满足，则的值为.3.设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为.4.在中，若，且三条边成等比数列，则的值为.5.在正四面体中，分别在棱上，满足，，且与平面平行，则的面积为.6.在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线的焦距为4，则的值为.8.若正整数满足，则数组的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式对所有成立，求实数的取值范围.10.设数列是等差数列，数列满足，.（1）证明：数列也是等差数列；（2）设数列、的公差均是

5、，并且存在正整数，使得是整数，求的最小值.11.在平面直角坐标系中，曲线，曲线，经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，求的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）设实数满足，令，证明：二、（本题满分40分）给定正整数，证明：存在正整数，使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集，每个子集中均不存在4个数（可以相同），满足.三、（本题满分50分）如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线与圆过点的切线分别相交于点，与的交点为，与的交点为，与的交点为，求证：平分线段.四、（本题满分50分）设，，集合，求的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：　解

6、：数列的公比为，故.2.答案：。解：设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：，故，进而.3.答案：。解：由条件知，，，两式相加消去，可知：，即.4.解：由正弦定理知，，又，于是，从而由余弦定理得：.5.解：由条件知，平行于，因为正四面体的各个面是全等的正三角形，故，.由余弦定理得，，同理有.作等腰底边上的高，则，故，于是.6.解：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况，（3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于

7、的有4个，直角顶点位于，的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为，进而所求概率为.7.解：二次曲线方程可写成，显然必须，故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则，注意到焦距，可知，又，所以.8.解：由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为，当时，由，知，，进而，故，此时共有2组.综上所述，满足条件的正整数组的个数为.9.解：设，则，于是对所有成立，由于，，对给定实数，设，则是关