拓扑空间性质

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1、拓扑空间的性质王强07级2班07020048拓扑学是研究几何图形的，点集拓扑学研究图形之间的一种较强的连续变换，即拓扑变换。定义1：拓扑空间设X是一个集合，若∫是X的一个子集族。若果∫满足如下条件：⑴X，φ∈∫；　⑵若A，B∈∫，则A∩B∈∫；　⑶若∫∫，则∪A∈∫A∈∫，则称∫是X的一个拓扑。若果∫是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，∫）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑∫而言的拓扑空间；或者当拓扑∫早已约定或在行文中已有说明而无须指出是，称集合X是一个拓扑空间。此外∫的每一个元素都叫做拓扑空间（X，∫）（或X）中的一个开集。定

2、义2：设（X，ρ）是一个度量空间。令∫为由X中的所有开集构成的集族。（X，∫）是X的一个拓扑。我们称∫为X的由度量ρ诱导出来的拓扑。此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑∫；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，∫）。例1平庸空间设X是一个集合。令∫={X，φ}。容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的平庸空间；并且我们称拓扑空间（X，∫）为一个平庸空间。在平庸空间（X，∫）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集φ。例2离散空间设X是一个集合。令∫=∫（X），即由X的所有子集构

3、成的族。容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，∫）为一个离散空间。在离散空间（X，∫）中，X的每一个子集都是开集。例3设X=﹛a,b,c﹜.令∫=﹛φ，﹛a﹜,﹛a,b﹜,﹛a,b,c﹜﹜容易验证，∫是X的一个拓扑，因此（X，∫）是一个拓扑空间这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间。例4可数补空间设X是一个集合.令∫=﹛UX│U是X的一个可数子集﹜∪﹛φ﹜容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑。拓扑空间（X，∫）称为一个可数补空间。定理1：设X，Y和Z都是拓扑空间.则（1）恒同映射i：X→X

4、是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g：Y→Z都是连续映射，则gοf:X→Z也是连续映射。定理2：设X，Y和Z都是拓扑空间，则（1）恒同映射i:X→X是一个同胚；（2）如果f:X→Y是一个同胚，则f¹:Y→X也是一个同胚；（3）如果f:X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gοf：X→Z也是一个同胚。定理3：设X，Y和Z都是拓扑空间，则（1）X与Y同胚；（2）如果X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚。定义3：拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质

5、P是一个拓扑不变性质。换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质。拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。参考文献:熊金城，点集拓扑讲义，第3版，北京，高等教育出版社：2003.12