将军饮马问题拓展

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1、将军饮马问题”的探宄与启示【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较多学生解题的“障碍”问题，现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”，利用“两点之间线段最短”加以证明，同时对数学教育工作者提出了启示。【关键词】轴对称最小值切题探宂M题启示【正文】一、问题再现基本问题：人教版八年级数学上册〜有一道探宂题，源于古希腊著名的“将军饮马闷题”，大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原题如下：如图1,要在燃气管道7上修建一个泵站，分别向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？课本给出

2、了如下的作图及证明方法：fffa.霣3如图2,作B关于直线/的对称点B'，连结AB'与直线/交于点C，点C就是所求的位置.证明：如图3，在直线1上另取任一点C',连结AC',BC',B'C',因为直线7是点B,B'的对称轴，点C,C'在7上，/.CB=CB',CB=（?B',•••AC+CB=AC+CB'=AB'.在△△C'B'中，•••△B'

3、三边”的问题加以解决（其中C在AB'与7的交点上，即A、C、B'三点共线）。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型。二、问题探讨1、在三角形（或四边形）中的运用：已知正方形ABCD的边松为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点。则DN+MN的最小值为多少？分析：要求DN+MN的S小值，联想“将军饮马问题”，作点M关A于AC的对称点E,且易知点E应该在线段BC上，这样MN=NE，那么题目就转化成求DN+NE的最小值了，由于点N在AC上移动且D、N、E可能构成一个三角形，因为“两点之间线段S短”，所以，当点

4、N移动到DE与AC交点处，即点D、N、E共线时，DN+NE=DE=10，达到最小值。反思：若引导学生把题中的D、M看着是基本问题中的A、B两点，把AC看着是基本问题中的燃气管道7,本问题即为基本问题，学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题。2、在平面直角坐标系中的运用：（2009年济南）己知：抛物线的对称轴为X=_l,与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中A（-3,0）、C（0,-2）.（1）求这条抛物线的函数表达式.•（2）己知在对称轴上存在一点P,使得APBC的周长最小.请求出点P的坐标.（3）若点£>是线段OC上的一个动点（不与点0、点C重

5、合）.过点Z）作DE//PC交;c轴于点£.连接PD、PE.设CZ）的长为m,APD£的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，清求出最大值；若不存在，清说明理由。分析：（本题只对第2问作详细分析）（1）抛物线的解析式为24y=-x2+-x-2.（2）连结AC、BC.因为5C的长度一定，要使周长最小，就是使33PC+PB最小。B点关于对称轴的对称点是A点，通过3,0）、C（0,-2）可求AC的解析式与对称轴又二—1的交点即为所求的点尸P，_^。（3）当m二1时，S汝）、=13<3>4反思：本题对第2问的解答是转化为“求定直线

6、％=-1上一动点与直线外两定点B、C的距离和的最小值”，它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题，由于和函数结合一起，增加了命题的想象空间，这里，蕴含了丰富的“数”与“形”相互转化的数学思想。CEW+4+7^+16的最小值分析：由a、b均为正数，且a+b=8，得3、在代数式中的运用：已知a、b均为正数，V^2+4+7（8-^）2+16,构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最小值问题。如图，取AC=2,BD=4，AB=8，作C关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P,连接CP,设PA=a,则PB=8—a,CP=V

7、C'、P、D三点共线，C'D=CP+DP=a/82+62=10为最小值。反思：正是由于a、b均为正数，可以把此题构造“将军饮马问题”的基本图形，顺利地求山人？+4+7^+9的最小值为13,想法新奇但又顺理成章。三、问题推广1、巾“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题：义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题，如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线分析：作A关于MN的对称点

8、G,B关于直线/的对称点H,连接GH交MN于I,交直线/于L,连接AI、BL，即可得出答案；反