线性代数期末复习题二.doc

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1、练习题填空题1、设为阶方阵，且秩，则齐次线性方程组(为的伴随阵)的基础解系所含向量的个数为__________.2、若方程组有解,则应满足条件为________.3、方程组有解,则应满足的条件是_____________.4、若方程组有无穷多组解，则、应满足的条件是____________.5、设三阶矩阵有一个特征值为，且及的主对角线元素的和为，则的其余二个特征值为__________。6、已知三阶方阵有一个特征值为，对应于的线性无关的特征向量为,，则__________。7、设三阶可逆矩阵的特征值为、、，则的伴随矩阵的特征值为__________。8、设为正交矩阵，为阵的特征根，则_

2、_________。9、若方程组只有零解，则应满足的条件是____________10、二次型的矩阵表达式为=_______________________.11、二次型的矩阵表达式为=_____________________________.12、二次型的矩阵形式为________________________________________________.选择题1、二次型的标准形是2、关于二次型的正定性的正确判断是（A）正定的.（B）负定的.（C）半正定的.（D）不定的.3、设二次型，则是正定的,为负定的,即不正定，也不负定,的秩为。证明题1、试证方程组有解的充要条件是，并在

3、有解的情况下求其解.2、设、都是阶矩阵，证明与的特征多项式相同。3、阶方阵是非奇导的充分必要条件是的特征值全不为零？4、设A是n阶正交矩阵,而且也是正定的,求证:A=E.计算题1、解方程组2、求方程组的解3、求解方程组.4、求解方程组5、就、取值情况讨论方程组是否有解，解是否唯一？6、求的特征值和特征向量，并判定是否与对角阵相似。7、求矩阵的特征值和特征向量.8、求正交变换,将二次型化为标准形.9、将正交变换,将二次型化为标准形.10、写出用正交变换将二次型化成的标准形。11、用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换。12、用正交变换化二次曲面方程为标准方程，并写出所用的正交变换

4、及曲面的名称。13、写出二次型的矩阵，并求的秩。14、试求二次型的矩阵的特征值,并确定f的正定性.15、试判断实对称矩阵是否为正定矩阵？参考答案填空题1、32、3、,任意实数4、5、0、6、,,7、、、8、9、10、11、12、选择题1、A2、D3、C证明题1、对方程组的增广矩阵作初等变换：可以看出而的充要条件是:所以方程组有解的充分必要条件是此时原方程组的一般解为:（为任意常数）2、根据分块矩阵的乘法可得于是两边取行列式得因此3、的特征多项式.它的根即的特征值都不为零的充分必要条件是或即是非奇异的。4、由已知,故存在正交矩阵T,使,且即,所以计算题1、对系数矩阵作初等变换：得原方程组

5、的一般解为：（为自由未知量）2、(为任意常数)3、方程组的解为4、原方程组无解.5、故当时，方程组有解，且故解是唯一的，其中为任意实数。6、的特征值为,对应于的特征向量为,对应于的全部特征向量为,因秩对应于，只有一个线性无关的特征向量，因三阶矩阵只有两个线性无关的特征向量。故不与对角相似。7、令解得特征值对于解得特征向量对于解得特征向量8、经正交变换原二次型化为:9、令解得特征值为经正交变换原二次型化为:10、,的标准形：11、,,,,正交阵经正交变换，化为标准形：12、正交阵在正交变换下方程化为是单叶双曲面13、的秩为.14、故二次型是正定的.15、故正定矩阵