最短路径(将军饮马)问题

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1、最短路径（将军饮马）问题与拓展相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边；②垂线段性质：垂线段最短。问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。如图，将军在观望烽火后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再走到B点的营地。怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点已知：直线l和它异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小模型【2】一定直线，同侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点

2、P，使PA＋PB最小模型【3】两定直线，两定点已知：∠MON内部有两点P、Q，在OM、ON上分别作点A、B，使四边形PQBA周长最小模型【4】两定直线，一定点已知：∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B，使△PAB周长最小模型【5】两定直线，一定点已知：∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B，使AB＋PB最小注意：模型4与模型5的联系与区别变式：线段之差最大问题模型【6】一定直线，同侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大模型【7】一定直线，异侧两定点已知：直线l和

3、它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大造桥选址问题利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。原题再现 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第86页）变式拓展模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线求作一条线段CD（长度不变），使AC＋CD＋DB最小巩固练习1、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝110

4、°，在BC上存在一点M，在CD上存在点N，使△AMN的周长最短，则∠MAN的度数为；第1题图2、如图，Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，BD平分∠BAC，点E、F分别为BD、BC上的动点，连接CE、EF，则CE＋EF的最小值是______3、如图，若AP＝4，∠CAB＝30°，在AB上有一动点M，AC上有一动点N，则DPMN周长的最小值是____________4、如图，△ABC在平面直角坐标系中，且A(1，3)、B(－4，1)、若M（a-1，0）、N（a，0），当BM＋MN＋NA最小时，直接写出a的值是_____

5、____．几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．例1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足

6、是点D，点E为直线AD上一点，以CE为边作等边三角形CEF，则DF的最小值是________练习：1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为BC中点，，点E为直线BC上一点，以AE为边作等边三角形AEF，则DF的最小值是________2、平面直角坐标系中，C(0，4)，K(2，0)，A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为．