换元法和待定系数法

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1、高考数学专题—数学思想方法3换元法及待定系数法解数学问题时，通过一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的问题中仅含这些新变量的方法称之为换元法。用这种方法解题的目的是变量研究，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难为易，化繁为简的目的。待定系数法的实质是方程的思想，把待定的未知数与已知数等同看待列式即得方程。第一讲换元法例1、已知，求的最值。分析：请看下面解法：∵，∴得的最大值为21，无最小值。思考：上面解法是否正确？正确解法：解：由题意得：故可设，∵∴当时，有最大值；当时，有最小值；例2

2、、已知，求的最值；解：可化为：即设∴∵∴当时，有最大值25；当时，在最小值；例3、已知，，，求的值。[分析]此题条件中，的含义是，，显然，按此递推公式求出，计算量较大，仔细观察条件中，的形式与正切的倍角公式相近。由此可得解法。5解：设，∵∴┄┄┄┄┄例4、在曲线：上求一点，使它到直线的距离取最小值。解：∵设，则又设则点在曲线上，到直线的距离为∵，∴∴，∴当时，有最小值2；由及，得∴当点坐标为时，到直线的距离最小，最小值为2；例5、已知集合，，求集合；解：令，则可设，，∴，关于的二次方程有实根的充要条件是又

3、∵∴∵∴解得；，，，∴原方程为∴5∴所求集合练习1、已知，那么的值域是；2、设实数满足，则的取值范围是；3、设，求函数的最小值；4、设，求证：，；5、已知，且，求的最大值与最小值；第二讲待定系数法例1、已知方程有一个根是解这个方程；[分析]根据实系数方程虚根成对原理，必有另一个根是，故方程等价于，其中待定，求出后就可求同另二个根。解：设令得,令得；∴,解得：，∴原方程的根为。例2、已知一个共100项的等比数列的前项的和，若，求所有适合等式的值的和；[分析]中含有两个字母，直觉告诉我们，去确定之值，是解题中

4、重要的环节。解：∵又是等比数列，∴，又由知，∴，，又，由得：∴，∴∴，∴例3、曲线：的图象与曲线：的图象关于点对称，求的值；解：设是上任意一点，是关于对称的上的点，则有，∴，5即①①与应为同一方程，即比较系数得。例4、设为常数，，，且方程有等根，求之值；若，求使成立的值；解：由得,即，又，故，因此或方程有等根，故；∵，又，∴且，因此，将与代入得。练习1、已知无穷等比数列前项和为，则所有项和等于A、B、1C、D、任意实数2、满足<500的的最大正整数是A、4B、5C、6D、73、在直角坐标系内有两点、，点在

5、抛物线上，为抛物线的焦点，若，则的值为A、B、C、1D、不能确定4、如果恒等式成立，则；；5、若方程的图象是两条直线，则；6、函数的最大值为，最小值为，则的周期是；7、已知函数的最大值为7，最小值为，求此函数的解析式；8、已知抛物线，对任意实数均过定点，求实数之值；5求抛物线焦点到准线距离的最大值；5