2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(a卷)

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1、2015年全国高中数学联合竞赛（A卷）一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设0分和8分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设为不相等的实数，若二次函数满足，则2．若实数满足，则的值为．3．已知复数数列满足，则．4．在矩形中，，线段上的动点与延长线上的动点满足条件，则的最小值为．5．在正方体中随机

2、取三条棱，它们两两异面的概率为．6．在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为．7．设为正实数，若存在实数，使得，则的取值范围为．8．对四位数，若则称为类数，若，则称为类数，则类数总量与类数总量之差等于．三、解答题9．（本题满分16分）若实数满足，求的最小值．1310．（本题满分20分）设为四个有理数，使得：，求的值．11．（本题满分20分）设分别为椭圆的左右焦点，设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为，如果的斜率依次成等差数列，求的取值范围．13加试1．（本题满分40分）设是实数，证明：可以选取，使得．2．（本题满分40分）设其中是个互不相同的有限集合，满足对任

3、意的，均有，若，证明：存在，使得属于中的至少个集合．133．（本题满分50分）如图，内接于圆，为弧上一点，点在上，使得平分，过三点的圆与边交于，连接交圆于，连接，延长交于，证明：．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数：对任意正整数都有不整除．132015年全国高中数学联合竞赛（A卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、

4、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设为不相等的实数，若二次函数满足，则答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以．2．若实数满足，则的值为．答案：2.解：由条件知，，反复利用此结论，并注意到，得．3．已知复数数列满足，则．答案：2015+1007i．解：由己知得，对一切正整数n，有,于是．4．在矩形中，，线段上的动点与延长线上的动点满足条件，则的最小值为．答案．解：不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,l)．设P的坐标为（,l)（其中），则由得Q的坐标为（2，-)，故,因此，．当时，．5．在正方体中

5、随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案：．解：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有=220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即13AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为．6．在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为．答案：24

6、．解：设．先考虑在第一象限中的部分，此时有,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部．同理，设，则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．由点集的定义知，所对应的平面区域是被、中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．由于直线CD的方程为，直线GH的方程为，故它们的交点P的坐标为．由对称性知，．7．设为正实数，若存在实数，使得，则的取值范围为．答案：．解：知，，而，故题目条件等价于：存在整数，使得．①当时，区间的长度不小于，故必存在满足①式．当时，注意到，故仅需考虑如下几种情况：(i)，此时且无解

7、；(ii)，此时;(iii)，此时,得．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦满足条件，可知．8．对四位数，若则称为类数，若，则称为类数，则类数总量与类数总量之差等于．答案：285．解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为，个位数不等于零的尸类数全体记为．对任一四位数，将其对应到四位数，注意到，故．反之，每个唯一对应于从中的元素．这建立了13与B之间的一一对应，因此有．下面