2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

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1、..2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分1：已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围是2：已知为偶函数，且，则的值为3：某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为：，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是4：设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则5：已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得的最小正整数的值是6：设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和，若是单元集，则的值为7：设为椭圆上的动点，点，则的最大值为8：正201

2、5边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，则的概率为二、解答题9：（本题满分16分）数列满足对任意正整数，均有（1）求的通项公式；（2）如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围Word格式..10：（本题满分20分）设为四个有理数，使得：，求的值11：（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围Word格式..（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：，并确定等号成立的充要条件2：（本题满分40分）如图，在等腰中，，设为其内心，设为内的一个点，

3、满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于求证：Word格式..3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组满足：4：（本题满分50分）给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，如果存在使得为奇数，或者存在整数，使得，则称是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。Word格式..2015年全国高中数学联赛（B卷）解答（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分1．已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围是．答案：（-2,+∞）．解：，所以，解得：．2．已知为偶函数，且，则的值为．答案：2015．解：由己知得，即=2015．

4、3．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为：，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是．答案：．解：由辅助角公式：，其中满足条件，则函数的值域是，室内最大温差为，得．故,等号成立当且仅当．4．设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则．答案：．解：取BD的中点O，连接OA,OA1,OC1．则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,又△OA1C1是等边三角形．故A1O=A1C1=，所以．5．已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得的最小正整

5、数的值是．答案：34．解：设数列的公差为,则．因为依次成等比数列，所以，即．化简上式得到：．又，所以．由．解得．6．设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和，若是单元集，则的值为．Word格式..答案：．解：点集A是圆周，点集B是恒过点P（-1,3）的直线及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线．故圆的圆心M(1,l）到直线l的距离等于圆的半径，故．结合图像，应取较小根．7．设为椭圆上的动点，点，则的最大值为．答案：5．解：取F(0,l)，则F,B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，

6、PF

7、

8、+

9、PB

10、=4．因此，

11、PA

12、+

13、PB

14、=4-

15、PF

16、+

17、PA

18、≤4+

19、FA

20、=4+l=5．当P在AF延长线与椭圆的交点时，

21、PA

22、+

23、PB

24、最大值为5．8．正2015边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，则的概率为．答案．解：因为，所以．故的充分必要条件是，即向量的夹角不超过．对任意给定的向量，满足条件的向量可的取法共有：种，故的概率是：．一、解答题9．（本题满分16分）数列满足对任意正整数，均有（1）求的通项公式；（2）如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围．解：(l)在中令可以得到的递推公式：．因此的通项公式为：．8分（

25、事实上，对这个数列,，并且．Word格式..所以是数列的通项公式．(2)注意到：，所以．故,并且，因此的取值范围是．16分10．（本题满分20分）设为四个有理数，使得：，求的值．解：由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，则中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及，从而必须有10分于是．故，15分结合，只可能．由此易知，或者．检验知这两组解均满足问题的条件．故．20分11．（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值

26、范围．解：设椭圆的右焦点F的坐标为（,0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为，．将直线l的方程与椭圆方程联立，消去得．由韦达定理Word格式..．5分因为等价于，故由