数学探究教学-国立彰化师范大学

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1、數學探究本文整理自：林勇吉（2009）。透過敘說取向個案研究探討四位國中數學教師發展數學探究教學之故事：聚焦於信念、知識與實務。國立彰化師範大學科學教育所博士論文，未出版，彰化市。林勇吉b8524039@gmail.com數學探究可簡單解釋為「問題－過程－解答」的整體程序。換言之，它是發現問題、思考問題與解決問題的過程。Romberg和Kaput（1999）認為數學應被視為人類的活動（humanactivity），反映出數學家的工作的性質，而這個性質是經由探究學習。例如，知道為何所提供的方法能夠運作、發現新的

2、方法，證明主張等；Yerushalmy,Chazan和Gordon（1990）進一步提出數學探究應該是協助學生使用「數學家的態度」進行探索。為了進一步詮釋「數學探究」，我們可以從幾個不同觀點來探討：一、數學本質的觀點Borasi（1992,1996）認為數學知識充滿模糊（ambiguity）與衝突（conflict），可以透過這個特性來幫助學生探究。例如：（1）利用錯誤（題目）當作跳板，引起學生思考「為何錯」與「該如何修正」等問題；（2）藉由提出與現狀不同的另有（alternatives）解答，創造模糊和衝突

3、，例如問學生：「如果改變一些假設、定義或目標，會有什麼事情發生？」；（3）探索學生不熟悉的新概念。例如非歐幾何（計程車幾何）（Krause,1986），討論如何在方格紙上畫「圓」（表1）。表1數學探究環（inquirycylce）教學範例，「計程車幾何」主題：介紹非歐幾何探究活動：「計程車幾何」。假設計程車在一個規則的城市中行駛（方格），他只能水平和鉛直移動，如下圖，那麼歐氏幾何是否還依然存在？探究環教學內容1.準備與聚焦1.與同學討論過去學習過的幾何概念：如說明在生活中使用幾何的例子；定義；公式等。2.閱讀

4、關於歐氏幾何與非歐幾何的文本，請同學發表與書寫心得。3.實施「計程車幾何」活動：學生甲：這不特別阿－這是普通的幾何…只是老遊戲加上新規則。教師在黑板寫下：這只是新規則或是整個新遊戲？4學生乙：你甚至不能在上面畫圓（為了證明這是新的幾何）！2.這兩種爭議性的主張，引起全班討論，教師因此決定，讓全班同學探究在計程車幾何中，圓是否存在。2.執行1.學生開始探索在計程車幾何中，「圓」是否存在。學生開始在方格紙中，畫出他們認為的圓。這些圖會展示給其他學生，用來支持自己的臆測，並且接受批判。有些學生認為格子很小的時候，就

5、會有一般的圓產生。教師：什麼是圓？2.學生閱讀教科書，探討圓的定義與計程車幾何中的限制。3.經討論後，確定計程車幾何中的圓與歐氏幾何的圓不一致。3.綜合與溝通1.教師尋求機會，幫助學生總結計程車幾何的探究。2.再度閱讀文本，藉由學生討論與溝通想法的過程，幫助學生整合探究的結論。各個學生使用圖形和模型去支持他們的想法。4.評估與延伸1.教師帶領大家結束這個探究，並且確認一些觀念和取向，可在未來的探究實施2.教師整合學生的探究經驗，並讓學生反思這些經驗。3.教師評量學生的探究表現。一、師生互動的觀點Wood和Tu

6、rner-Vorbeck（2001），由心理學與社會學的角度，發展改革取向教學中，數學課室師生互動的分析架構，它將師生互動模式，依其程度，區分為：「報導方式」（reportways）、「探究」、「論證」（argument）等三個類別。「報導方式」，是指在課室討論中，學生告訴其他學生他是如何解決教師分配的問題，主要聚焦學生報告自己的解題策略。在「探究」的課室模式中，學生們開始也是使用「報導方式」方式進行，其後，學生必須去澄清（clarify）他們的意義，並且回應教師與學生的問題，在這個課室中，不只聚焦個別學生的

7、解題差異，同時，也必須要推理（reasoning）他們的解答。「論證」則是比「探究」更高層次，除了必須報導解題策略、提出思考上的解釋外，還必須挑戰答案的有效性，或是挑戰某人的推理，也可以說是非形式的證明，學生必須回應他人的挑戰。然而Wood,Williams和McNeal（2006）也強調可以把「探究/論證」看成同一個類別。二、擬題的觀點Whitin（2006）認為數學探究教學，是指使用學生的「觀察」和「問題」當作跳板，做為提供在適當學科內容內進行探究的機會，例如當學生知道6+4=10，那麼可以進一步詢問有哪

8、些三個數相加，也可以得到同樣的結果（如2+4+4；3+4+3）。更進一步，Whitin使用擬題（problemposing）做為數學探究的工具。4這意味找出（identifying）給定問題的特性（attribute），之後改變一個或幾個特性，創造新的問題，這個過程與上述例子相同。Whitin使用擬題策略的原因，是因為擬題其實融入一些數學探究重要元素於其中，包括：細心觀察、使用多樣的觀點、產生問題、