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1、第6讲数列的综合问题★知识梳理★1.等差数列的补充性质⑴若有最大值，可由不等式组来确定；⑵若有最小值，可由不等式组来确定.2.若干个数成等差、等比数列的设法⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.⑵三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.3.用函数的观点理解等差、等比数列⑴等差数列中，，当时，是递增数列，是的一次函数；当时，是常数列，是的常数函数；当时，是递减数列，是的一次函数.⑵等比数列中，，当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.4.解答数列综合问题的注意事项⑴认真审题、展开联想、沟通联系；⑵将实际应用问题转化为数学问
2、题；⑶将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.★重难点突破★1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.★热点考点题型探析★考点数列的综合应用题型1等差、等比数列的综合应用用心爱心专心【例1】已知等差数列与等比数列中，，求的通项.【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是等比数列，成等比，则，解得或.当时，，，；当时，，，.【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问
3、题的关键.【例2】已知为数列的前项和，，.⑴设数列中，，求证：是等比数列；⑵设数列中，，求证：是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点.【解析】⑴，，两式相减，得，又，，由，，得，是等比数列，.⑵由⑴知，，且是等差数列，.⑶，且，用心爱心专心当时，，，【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为是解题的关键.题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．⑴求，判断并证明函数的单调性；⑵数列满足,且①求通项公式；②
4、当时，不等式对不小于的正整数恒成立，求的取值范围.【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.【解析】⑴，在上减函数（解法略）⑵①由单调性，故等差数列②是递增数列当时，用心爱心专心，即而，∴，故的取值范围是【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型3数列的应用问题【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?【解题思路】本题求走的总路程最短
5、,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:.由于,当时,有最小值.答:将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.【名师指引】本例题是等差数列应用问题.应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围.【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用
6、去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列.【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则,易得,即因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则(块)答:共用2046块.【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题.用心爱心专心【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；⑵
7、求数列的第项；⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.【解析】⑴设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为.于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积,于是⑵.数列是公比为,首项的等比数列.∴.⑶.答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60％.【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和
