空间向量立体几何学案

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1、河北阜城中学高二数学空间向量与立体几何复习学案教学目标：复习空间向量解立体几何教学重点：空间角的求法教学难点：空间角和距离教学过程选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．例1　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．利用空间向量主要研究空间中的

2、平行或垂直问题．(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：①利用线线平行证明线面平行．②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，要证明l∥α，只需证明a·n＝0.(2)证明线面垂直的常用方法有：①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)⇔a与n共线⇔l⊥α.②l是交线a，b所在平面α外的直线，a，b不共线，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0⇔l⊥a且l⊥b⇔l⊥α.　例2如图，在矩形ABCD中AB＝

3、2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.　1．求异面直线所成的角．设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cosθ＝

4、cos〈n1，n2〉

5、.2．求二面角的大小．如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.励志语句：成绩源于不断的积累，成功源于不停的努力河北阜城中学高二数学因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cosθ＝

6、cos〈n1，n2〉

7、.3．求斜线与平面所成的角．如图，设平面α的法

8、向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sinθ＝

9、cos〈n1，n2〉

10、.例3.四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角P-AM-N的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．几种常见的距离的求法：(1)求A、B两点间的距离一般用

11、AB

12、＝＝.(2)求点到平面的距离．如图所示，已知点B(x0，y0，z0)，平面α内一点A(x

13、1，y1，z1)，平面α的一个法向量n，直线AB与平面α所成的角为φ，θ＝〈n，〉，则sinφ＝

14、cos〈n，〉

15、＝

16、cosθ

17、.由数量积的定义知，n·＝

18、n

19、·

20、

21、cosθ，∴点B到平面α的距离d＝

22、

23、·sinφ＝

24、

25、·

26、cosθ

27、＝.(3)求异面直线间的距离．如图若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点，令向量n⊥a，n⊥b，，则n∥CD.则由＝＋＋得，·n＝·n＋·n＋·n，∴·n＝·n.∴

28、·n

29、＝

30、

31、·

32、n

33、，∴

34、

35、＝.∴两异面直线a、b间的距离为d＝.(4)求直线到平面的距离．设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为

36、C，则∥n，∵·n＝(＋)·n＝·n.∴

37、·n

38、＝

39、

40、·

41、n

42、.∴直线a到平面α的距离为d＝

43、

44、＝.(5)求两平行平面间的距离．励志语句：成绩源于不断的积累，成功源于不停的努力河北阜城中学高二数学设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d＝.例4.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．励志语句：成绩源于不断的积累，成功源于不停的努力