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1、2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)设函数f(x)满足，f(0)=0.则=______________.[解]应填–2.由，于是===(2)设连续，若在点(0,0)处关于x,y的偏导数均存在，则应满足_______________.[解]应填由题设在x=0处关于x的导数存在，得(3)已知，且f(1)=1，则f(x)=_________________.[解]应填-x+2.由,有，即，解此微分方程，得f(x)=cx+2,由f(
2、1)=1,知c=-1,故f(x)=-x+2.(4)二次型的正负惯性指数都是1，则a=.[解]应填-2—20—，由于r(A)=1+1=2若a=1,则r(A)=1,不合题意；若a=-2符合题意，故a=-2.(5)设A,B独立，P(A)=0.5,P(B)=0.6，则=.[解]应填==(6)设和为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差，若为的无偏估计，则常数k=.[解]应填1.由题设，，于是，知k=1.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填
3、在题后的括号内）(7)设则f(x)(A)极限不存在.(B)极限存在但不连续.(C)连续但不可导.(D)可导.[][解]应选C.—20—因为，所以f(x)在x=0处连续.而不存在，故应选(C).(8)设函数f(x)在(-¥,+¥)内连续，.如果f(x)是单调增加的偶函数，则F(x)是(A)单调增加的偶函数.(B)单调增加的奇函数.(C)单调减少的偶函数.(D)单调减少的奇函数.[][解]应选C.令u=x-t，F(x)=，所以，为奇函数，为偶函数，即F(x)为偶函数.又，即F(x)单调减少.因此，选(C).(9)设
4、a和b为常数，且，则(A)a=0，b=1(B)a=-1，b=1(C)(D)[][解]应选D由于，故应选(D).(10)设f(x)连续可导，，则等于(A)(B)(C)2f(0)(D)2[]—20—[解]应选A.=故应选(A).(11)设正项级数的部分和为，又，已知级数收敛，则(A)收敛(B)发散(C)条件收敛(D)收敛[][解]应选B.由收敛的必要性知，，于是，故应选(B).(12)设A为阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；②Ax=b有唯一解；③A的行向量组线性无关；④A的列向量组线性无关.则有(A)①②④
5、.（B）②①④.(C)④①③.(D)③②①.[][解]应选B.Ax=b有唯一解，知，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13)设A为n阶矩阵，考虑以下命题：1）A与有相同的特征值与特征向量；2）若A~B,则A,B有相同的特征值与特征向量；3）若A,B有相同的特征值，则A,B一定相似于同一个对角矩阵；4）若A,B有相同的特征值，则r(A)=r(B).成立的命题有(A)1个(B)2个.(C)3个.(D)0个.[][解]应选D.A与有相同的特征值但特征向量不相同；A~B,则A,B有相
6、同的特征值但同样特征向量不一定相同；A,B有相同的特征值，但A,B不一定可对角化，从而不一定相似于同一个对角矩阵；A,B有相同的特征值，推不出r(A)=r(B)，如.故应选(D).—20—(14)设(X,Y)为二维随机变量，则X与Y独立的充要条件为(A)独立.(B)独立.(C)独立.(D)独立.[][解]应选C.若X,Y独立，则、、、均独立；但反过来，只有独立时，才可推导出X与Y独立，即==故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分8分)设f(
7、x)=,其中g(x)具有二阶导数，且，，求[解]令u=lnx(16)(本题满分9分)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解]直接解微分方程，或—20—由f(x)的连续性知f(0)=0.又由已知条件2=因此，所求函数为旋转体的体积为，令又，故当a=-5时，旋转体体积最小.(17)(本题满分8分)设f(x)在区间[a,b]上
8、可导，且=，.证明：存在，使[证]令，且.不妨设，则,F(c)=0即结论。(18)(本题满分8分)函数f(x,y)二阶偏导数连续，满足，且在极坐标系下可表成f(x,y)=h(r)，其中，求f(x,y).—20—[解]由题设，有，根据，得，故f(x,y)=(19)(本题满分9分)设证明当时，幂级数收敛，并求其和函数.[解]，所以在(-1,1)内收敛.由，可得递推式：，于是,所以(20)(
