多元函数的极值1

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1、第五节多元函数的极值主讲教师：黄小平一、复习引入二、二元函数极值的定义三、二元函数取得极值的条件四、二元函数极值的求法五、本节小结1、复习回顾oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy2、问题的提出求最大收益即为求二元函数的最大值。每天的总收益为：这个函数常称为目标函数。某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖y美分，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种

2、牌子的果汁可取得最大收益？问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？二、二元函数极值的定义观察：观察二元函数的图形二元函数极值的定义定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y):如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点。极值是局部特性例1函数处有极小值．在xzy0例２

3、函数处有极大值．在处有极大值．在xyzO例３处无极值．在函数xzy0问题：回顾一元函数极值的知识可知，如果函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，那么必有f`(x0)=0.如果(x0,y0)为二元函数f(x，y)的极值点，且在此处导数存在，那么会有什么结果呢？二、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.推广如果三元函数在点有极值的必要条件具有偏导数，则它在，.;是：仿照一元函数，凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻

4、点是否为极值点？驻点极值点注意：.例如点是函数的驻点，但不是极值点定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且是函数的驻点.令（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；则：（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC-的符号，再判定是否是极值.四、二元函数极值的求法例4求函数f(x，y)x3y33x23y2

5、9x的极值．求得驻点为(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2)．再求出二阶偏导数fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6．在点(1，0)处，ACB212·6>0，又A>0，所以函数的(1，0)处有极小值f(1，0)5；在点(1，2)处，ACB212·(6)<0，所以f(1，2)不是极值；在点(3，0)处，ACB212·6<0，所以f(3，0)不是极值；在点(3，2)处，ACB212·(6)>0，又A<0，所以函数的(3，2)处有极大

6、值f(3，2)31．解方程组解五、本节小结1、本节学习了多元函数极值的定义，注意极值仅是函数的局部特性。2、多元函数取得极值的必要条件和充分条件。驻点极值点只有当AC->0时驻点才是极值点。极值点驻点偏导存在3、有可能偏导不存在也是极值点，例如函数在（0，0）点处有极大值，但函数在（0，0）点偏导不存在。因此，在求函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．思考：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖

7、x美分，外地牌子的每瓶卖y美分，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？解：每天的收益：于是求每天的最大总收益，就是求二元函数的最大值。则有驻点.所以当美分，美分时，小店可求二元函数的偏导数，得取得最大收益.(引例的求解)