多元函数的极值(IV)

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1、§8.6多元函数的极值一极值二条件极值一极值定义1设在点的某个邻域内有定义，而且有则称为的一个极大值（或）（或极小值），应地称点为的一个极大值点（或极小值点）。相例如（1）在点处取极小值；（2）在点处不取极值；定理1设在点处取极值，且偏导数存在，则注：①定理1的几何意义：曲面在极值点有切平面，则切平面一定平行于面，切平面方程为②称满足的点为的驻点。定理2设在点的某个邻域内有二阶连续偏导数，且点是的驻点，记则（1）当时，在点处取极值，且取极小值，取极大值；（2）当时，在点处不取极值；（3）当时，在点处可能取极值，也可能不取极值。（如：在点处都满足）例1求的极值。解令得到驻点和在点处：

2、在点处不取极值；在点处取极大值在点处：例2求的极值。解令得到驻点和在点处：在点处不取极值；在点处取极大值在点处：二条件极值考虑函数在条件下的极值。目标函数拉格朗日（Lagranger）乘数法：令（Lagranger函数）由解得，则点是函数在条件下极值的嫌疑点，也称为驻点。说明：Lagranger乘数法可以推广到多个自变量和多个约束条件的情形。Lagranger函数：在条件下的极值。如：考虑函数例3设长方体的体积为，问怎样选择长、宽、高才能使长方体的表面积最小。解设长、宽、高分别为则长方体的表面积而且满足条件令则由得驻点据实际问题可知：此问题的最小值是存在的。因此当长、宽、高均为时，

3、长方体的表面积最小，且最小值是例4求椭圆线上的点到原点的最近和最远的距离。解设点为椭圆线上任一点，则它到原点的距离记而且满足条件令则由得驻点因为所以，椭圆线上点到原点的最近距离为1，最远距离为例5求在闭区域上的最大值和最小值。解由得到在内部的驻点令由得到在的边界上的驻点和因为所以在闭区域上的最大值是46，最小值是1.