初一奥数竞赛绝对值

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1、初一奥数竞赛第2讲绝对值例1a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；　　(4)若｜a｜=b，则a=b；　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．　　　　例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．　　　　　例6若a，b，c为整

2、数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．　　　　　　　　例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．　　　　例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．　　　　例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．　　　　例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．　　练习二　　1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜

3、=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，求T的最小值　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()．(1)在A，C点的右边；(2)在A

4、，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能答案解析：例1解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．6)不对．当a＋b＞0时成立．例2解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．　　再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-

5、2c．例3分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．　　解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)　　　　　=｜3+｜3+x｜｜　　　　　=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)　　　　　=｜-x｜=-x例4解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中

6、大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．　　(1)当y=2时，x+y=-1；　　(2)当y=-2时，x+y=-5．　　所以x+y的值为-1或-5．例6解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是　　　　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①　　或　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②　　由①有a=b且

7、c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，　　所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．例7解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，　　所以例8分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉

8、每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即　　这样我们就可以分类讨论化简了．　　　　　原式=-(3x+1)-