二次函数和根与系数的关系

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1、例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，

2、∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=

3、x2﹣x1

4、==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=

5、x2﹣x1

6、==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，第8页

7、共8页由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=

8、x2﹣x1

9、==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•

10、x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2=k

11、4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。解：∵D(0,-)∴设直线MN的解析式为y=kx-∴∴kx-=x²-4x+3∴x²-(4+k)x+=0+=-=4+k第8页共8页∵+=0=k(4+k)∴k=1或-5(舍)∴直线MN的解析式为y=x-1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴交于A、B、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，

12、且y轴平分△PCQ的面积，求k的值。（答案：k=-2）已知：二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴正半轴于点C，且。（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。例2、已知抛物线y=0.25x2﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=0.75x-9向上平移，交抛物线于M、N。MN交y轴正半轴于点T，S△MCT-S△CNT=44，求直线m的解析式。第8页共8页如图，抛物线y=x2

13、，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当S△PEF=12时，求E、F点的坐标。如图，抛物线y=—x2+4x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=—x2+3x+6交y轴于点A，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。解：∵点A、C在抛物线y=-x²+3x+6

14、上∴A(0,6)C(4,2)∴AC:y=-x+6∵抛物线y=-x²+3x+6的顶点G(1.5,8.25)抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]²+8.25联立：∴x²-(4+2n)x+n²+3n=0∴=4+2n∵点M、N关于