二次函数和根与系数的关系.docx

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1、例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠

2、BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=

3、x2﹣x1

4、==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由22，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，1212221=；∴x+x=2m+1，x?x=m+m﹣1，∴AB=AC=

5、x﹣x

6、=（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，供参考由，得x

7、2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，∴AB=AC=

8、x2﹣x1

9、=2=，∴AB=10，22222222222222222222∵OA+OB=x+y+x+y=x+x+y+y=x+x+（x+1）+（x+1）=x+x+（x+2x1+1）+（x+2x+1）=2（x+x）1122121212121212212+2（x1+x2222）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB=OA+OB，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由212122122122122122=，得x﹣kx﹣1=0，∴x+

10、x=k，x?x=﹣1，∴AB=（x﹣x）+（y﹣y）=（x﹣x）+（kx﹣kx）（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，222222222222222222+2kx22+2kx2∵OA+OB=x1+y1+x2+y2=x1+x2+y1+y2=x1+x2+（kx1+1）+（kx2+1）=x1+x2+（kx11+1）+（kx22+1）=（1+k）22）+2=（1+k22+2）+2k?k+2=k4+5k2+4，（x+x）+2k（x+x）（k1212222

11、∴AB=OA+OB，∴△AOB为直角三角形．如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点，且2E点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。解：∵D(0,-5)2∴设直线MN的解析式为y=kx-5242∴ykx52ENyx24x3O5∴kx-5=x2-4x+32M2D∴x2-(4+k)x+11=02bx1+x2=-=4+k∵ym+yn=0=k(4+k)供参考∴k=1或-5(舍)∴直线MN的解析式为y=x-521、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴交

12、于A、B、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分△PCQ的面积，求k的值。（答案：k=-2）已知：二次函数yx2(m1)xm的图象交x轴于(,0)、B(x2,0)两点，交y轴正半轴于点C，且Ax1x12x2210。（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D(0，5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若2存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。例2、已知抛物线y=0.25x2﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=0.75x-9向上平移，交抛

13、物线于M、N。MN交y轴正半轴于点T，S△MCT-S△CNT=44，求直线m的解析式。供参考如图，抛物线2，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为△PEF时，求y=xP，当S=12E、F点的坐标。如图，抛物线y=—x2+4x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=—x2+3x+6交y轴于点A，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度

14、后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。解：∵点A、C在抛物线y=-x2+3x+6上∴A(0,6)C(4,2)∴AC:y=-x+6∵抛物线y=-x2+3x+6的顶点G(1.5,8.25)抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐标为(1.5+n,8.