示范教案{§5简单的幂函数}

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1、§5　简单的幂函数教学分析　　　　　教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进．值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质．三维目标　　　　　1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力．2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力

2、．3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．重点难点　　　　　教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念．教学难点是判断函数的奇偶性．课时安排1课时导入新课　　　　　思路1.(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．(2)如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．(3)如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝S，这里a是S的函数．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具

3、体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)思路2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题．推进新课　　　　　①给出下列函数，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点.②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.③函数y＝x，y＝的图像对称性有什么共同点？④函数y＝x，y＝的解析式满足f(－x)＝－f(x)吗？⑤函数y＝x2，y＝

4、x

5、的图像对称性有什么共同点？⑥函数y＝

6、x2，y＝

7、x

8、的解析式满足f(－x)＝f(x)吗？活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式．②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．③画出函数y＝x，y＝的图像来观察．④代入函数的解析式验证即可．⑤画出函数的图像来观察．⑥代入函数的解析式验证即可．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．即幂函数的定义：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函数称为幂函数，

9、其中x是自变量，α是常数．如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数．③函数y＝x，y＝的图像都关于原点对称．一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．④都满足f(－x)＝－f(x)．因此有：函数f(x)是奇函数函数f(x)的图像关于原点对称对定义域内任意的x，f(－x)＝－f(x)．⑤都关于y轴对称．一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．⑥都满足f(－x)＝f(x)．因此有：函数f(x)是偶函数函数f(x)的图像关于y轴对称对定义域内任意的x，f(－x)＝f(x)．当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．在图1中，只

10、画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．图1讨论结果：函数y＝x－1，y＝－x3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y＝x2＋1，y＝－x4是偶函数，其图像关于y轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．图2在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．思路1例1画出函数f(x)＝x3的图像，讨论其单调性．活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义．解：先列出x，y的对应值表(如下表)，再用描点法画出图像，如图3.x…－2－1－012…y…－8－1－018…图3

11、从图像上看出，y＝x3是R上的增函数．点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力．变式训练画出幂函数y＝x的图像，并讨论其单调性．答案：幂函数y＝x的图像如图4所示．图4从图像看出，函数y＝在[0，＋∞)上是增函数.例2判断f(x)＝－2x3和g(x)＝x4＋2的奇偶性．分析：根据函数奇偶性的定义来判断．解：因为在R上，f(x)＝－2x3，f(－x)＝－2(－x)3＝2x3，所以f(x)＝－f(－x)．于是f(x)是奇函数，而g(x)＝x4＋2，g(－x)＝(－x