轴对称课题学习最短路径问题

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1、第十三章　轴对称课题学习　最短路径问题湖北省通山县教育局教研室　袁观六八年级上册创设问题情境问题1如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.两点之间，线段最短问题2如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置P创设问题情境问题2相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一

2、条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？将实际问题抽象成数学问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？将实际问题抽象成数学问题(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．(2)在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？将实际问题抽象成数学问题B′问题4如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？解决数学问题作法：（1）作点B关于直线l

3、的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．B′C证明AC+BC“最短”问题5你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？C′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不

4、重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B′CC′证明AC+BC“最短”追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B′CC′利用轴对称，把直线l同侧的两点，转化为直线l异侧的两点，再利用“两点之间，线段最短”画图．证明AC+BC“最短”巩固练习练习　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．归纳小结（1）本节课

5、研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？教科书复习题13第15题．布置作业