函数的极限及函数的连续性

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1、函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：　　①　　　　　此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。　　②要掌握常见的几种函数式变形求极限。　　③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。　　④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。　　⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。　　二、典型例题　　例1．求极限　　①　②　③　　④　　解析：①。　　　　②。　　③。　　　　④。　　例2．已知，求m,n。　　解：x2+mx+2含有x+2这个因式　∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=

2、3代入求得n=-1。　　例3．讨论的连续性。　　解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，　　又，∴，∴f(x)在x=1处连续。　　由7，　　从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。　　例4．已知函数,(a,b为常数)。　　试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。　　解析：∵且，　∴，∴a=1,b=0。　　例5．求极限①　　②　　解析：①。　　②。　　例6．设，问常数k为何值时，有存在？　　解析：∵，。　　要使存在，只

3、需，∴2k=1，故时，存在。　　例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？　　解析：由，，　　∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。　　训练题：　　1．，则2．的值是_______。　　3.，则=______。4，2a+b=0，求a与b的值。7　　5．已知，求a的值。　　参考答案：1.3　　2.　　3.　　4.a=2,b=-4　　5.a=0在线测试窗体顶端　　选择题窗体底端窗体顶端　　2．和存在是函数存在的（）。　　A、充分非必要条件　　B、必要非充分条件　　C、充要条件　　　　　D、既不充分又不必要条件窗体底端

4、窗体顶端　　3．，则下列结论中不正确的是（）。　　A、　　B、　　C、f(x0)=a　　D、f(x0)可能不为a窗体底端窗体顶端　　4．设，若存在，则常数b的值是（）。　　A、0　　B、1　　C、-1　　D、e窗体底端窗体顶端　　5．对于函数，给定下列命题　　①　②　③　④　　其中正确的是（）。　　A、①和②　　B、③和④　　C、①②③④都成立　　D、③窗体底端窗体顶端　　6．有下面四个命题：　　（1）如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么f(x)在点x0处连续；　　（2）如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限，那么f(x)在点

5、x0处连续；　　（3）如果函数f(x)在点x0处不连续，g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处不连续；　　（4）函数在[-1，1]上存在最大值和最小值。　　其中错误的命题有（）。　　A、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个窗体底端窗体顶端　　7．“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的（）。　　A、充分不必要条件B必要不充分条件　C、充分必要条件　D、既不充分也不必要条件窗体底端窗体顶端7　　8．已知函数则下列结论正确的是（）。　　A、f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续　　B

6、、f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不连续　　C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续　　D、f(x)在点x=1和x=2处都连续窗体底端窗体顶端　　9．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a的值是（）。　　A、1　　B、2　　C、3　　D、0窗体底端窗体顶端10．对函数，下列说法正确的是（）。　　A、f(x)在x=1处连续，在开区间(0，1)内不连续　　B、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0，1)内连续　　C、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内均连续　　D、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内都不连续窗体底端答案与解析

7、　　答案：2.B　3.C　4.B　5.A　6.D　7.B　8.D　9.B　10.B　　解析：2.若≠，则函数不存在。　　3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：　　，所以A、B正确；　　，需看函数在点x=x0处是否有定义，因此选C。　　4.提示：若存在，则，　　，，所以b=1。　　5.提示：容易求得①　　②正确，　　也可知≠，所以不存在，③④不成立。　　7.提示：f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：　　（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）7存在；　　（3），即函数在点x0处的极限值等于这一点的函数值。　　因此“函数f

8、(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。　　8.提示：首先，函数在点x=1和点x=2处有定义，　　而且，。所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。　　9.提示：因为函数在区间[0，