函数的连续性及极限的

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1、第四节函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义:如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)f(x)存在；(3)f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都

2、在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即

3、在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x0处

4、连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、问题讨论●点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f（x）=的不连续点为A.x=0B.x=（k=0,±1,±2,…）C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D.x=0和x=（k=0,±1,±2,…）解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=.又x=0也不是连续点,故选D答

5、案：D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是A.①B.②③C.①④D.③④答案：A4.四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=

6、x

7、;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性，点x=0；，点x=－1。解：（1）当x→0－时，，，因此=－1，而==1，∵，∴在x=0处极限不存在，因此在x=0处不连续。（2）∵，，，∴，因此函数在x=－1处连续。【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数

8、在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）∵f（x）=－1,f（x）=1,f（x）≠f（x）,∴f（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.（2）∵f（x）在x=3处无定义,∴f（x）在x=3处不连续.∴f（x）在区间［0,3］上不连续.练习：讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(－3,3)内连续。解：显然函数的定义域为，当时，，∴在上连续，在上连续。而在处不连续。又∵，不妨设，于是此时

9、，在区间(－3,3)内连续。解:f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时,f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar(0

10、r2个单位,…….,如此连续下去(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2)若其中的r为变量,且0