第二章随机变量的分布与数字特征

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1、第二章随机变量及其数字特征一、教学要求1.理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；2.理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；3.会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4.熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5.应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几

2、种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。　　　　　　　　　　　　　§2.1随机变量及其分布一、随机变量1．引入随机变量的必要性1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如：掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。注：这些例子中，试验的结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验

3、的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。2．引例先看一个具体的例子:例1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3．因此，X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本

4、空间上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如表示取出2个黑球这一事件；表示至少取出2个黑球这一事件，等等．3．定义1）描述性定义：定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。2）严格定义：设为一概率空间，是定义在上的实值函数，若对任一实数，，则称为随机变量。4.随机变量的例子例2上午8:00～9:00在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．表示通过的汽车数小于100辆这一

5、随机事件；表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件例3观察某生物的寿命（单位：小时），令：Z：该生物的寿命．则Z就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．二、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义设为一概率空间，X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称为随机变量X的分布函数,且称X服从,记为X~.有时也可用表明是X的分布函数.2.例子例4向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数,并求P(X>).解事件“”表示所抛之点落在半径为的圆内，故由几何

6、概率知从而3.分布函数的性质定理：任一分布函数都有如下三条基本性质:（1）单调性:是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有；（2）规范性:=；=。（3）右连续性:是x的右连续函数，即对任意的，有，即。证明略。注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。（2）有了分布函数的定义，可以计算：，，等。三、离散随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统

7、计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。2．分布列设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是，则称X取的概率为X的概率分布列或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示：或3.分布列的基本性质(1)非负性：(2)正则性：注1）离散随机变量的分布函数为：。2）设离散型随机变量X的分布函数为，为其间断点，k=1,2,…,则X的分布律为4.例子例5设离散随机变量X的分布列为，试求，并写出X的分布函数。解略。例6从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列

8、．解：X的取值为5，6，7，8，9，10．并且具体写出，即可得X的分布列：例7设随机变量X的分布列为解：由分布列的性质，得，所以四、连续随机变量及其密度函数1.连续型随机变量的概念定义设随机变量Ｘ的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意ｘ，有　　　　　　　　　　　　　，则称X为连续随