随机变量的概率分布与数字特征

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1、第二章随机变量的概率分布与数字特征在第一章中，我们介绍了随机事件及其概率，可以看到很多事件都可以采取数值标识。如一个人的身高、体重、血压、脉搏；抽检产品时出现的废品个数；掷骰子出现的点数等对于那些表现为某种属性的非数值标识的随机事件，实际上也可以给它们以数值标识。例如，对新生儿的性别，可以0表示女，1表示男；对生化检验的结果，可以0表示为阴性，1表示为阳性；对生产的产品，可以2表示为优质品，1表示为次品，0表示为废品等。这样一来，随机事件就都可以用数量来描述，从而，随机试验的结果可用一个变量来表示，随机试验的不同结果(随机事件)表现为变量取不同的值

2、。因此，本章先引入随机变量的概念，把对随机事件及其概率的研究转变成为对随机变量及其概率分布的研究，本章主要讨论两类常用的随机变量的概率分布及几个常用的数字特征。§2-1离散型随机变量及其概率分布2-1.1随机变量例如一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿，则每个女儿都有1/2的可能性从母亲那里得到一个致病的X染色体而成为携带者(假设父亲正常)，以A，B，C分别表示大女儿、二女儿和小女儿是携带者。若用X表示她们中的携带者人数，那么X=0，1，2，3是变量。但X等于多少要与试验结果联系在一起。如“X=0”=“X=3”=ABC“X≥1”=A+B+C等等，X取

3、特定的值或特定范围里的值是一个随机事件，随机事件的出现总是有一定的概率的，因而，变量取特定值或某些值也有确定的概率。如：P(X=0)=P()=P()P()P()=()3=0.125P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=()3=0.125P(X<∞)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P(Ω)=1通过该例，我们可对表示随机试验结果的变量下一个定义。定义1若对随机试验E的每一个可能的结果e，··都有惟一的实数x(e)与之对应，则称x(e)是随机变量，记为X。亦可用Y，Z等表示。随机变量通过随机事件与概率联系起来，对

4、任何形式的随机变量都有性质1随机变量取任何值的概率均为非负。性质2随机变量取所有可能取的值的概率为1。按随机变量的取值情况通常将其分为两种基本类型，即离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量中最重要的也是实际工作中经常遇到的是连续型随机变量。本书只简单介绍离散型及连续型这两种随机变量。(1)离散型随机变量其可取值是有限个或可列个。(2)连续型随机变量可以取得某一区间内的任何数值或在整个数轴上取值。2-1.2离散型随机变量的概率分布对一个随机变量进行研究，首先要判断它的取值范围以及可能取哪些值，其次还要知道它取这些值的概率，也就是要知道它

5、的取值规律。随机变量X的取值规律称为X的概率分布，简称分布。通常用随机变量的概率函数(或概率密度函数)、分布函数来描述随机变量的分布。定义2设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,…,n)，X取各个值的对应概率为pi(i=1,2,…，n)，则称P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)(2-1)为离散型随机变量X的概率函数(又称分布律)。概率函数也可用列表的方式来表示(表2-1)：表2-1Xx1x2…xi…xnP(X=xi)p1P2…pi…pn这张表称为X的概率分布表(又称分布列)。概率函数具有下列基本性质：(1)Pi≥0(i=1,2,

6、…,n)(2)(2-2)从概率函数中能够得到所有像“X=xi”这样事件的概率，但有时，我们更关心如“X≤xi”或“X≥xi”这类事件的概率，如病人的身体状况至多能承受多大剂量的放射治疗；从失效率为1%的针剂中任取10支，取到2支以上失效的概率是多少等，就需要计算事件X≤xi或X≥xi的概率，即P(X≤xi)或P(X≥xi)。定义3设X是随机变量(可以是离散型的，也可以是非离散型的)，对任何实数x，令F(x)=P(X≤x)(-∞

7、X≤x1)故P(x1

8、X≤xi)-P(X≤xi-1)=F(xi)-F(xi-1)(2-5)例1设某药检所从送检的药品中先后抽检3件，如果送检的1