归纳法及数学归纳法区别

《归纳法及数学归纳法区别》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、归纳法及数学归纳法区别　　摘要：本文介绍了归纳法及数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用归纳法及数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，并且比较了归纳法与数学归纳法之间的差异，还介绍了归纳法及其数学归纳法推理的常用技巧。　　关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理　　归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。　　1归纳法　　1.1归纳法的定义

2、　　由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。　　归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。　　1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。　　1.1.2完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.　　注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。　　1.2使用归

3、纳法要谨慎　　我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。　　例、求前n个奇数的和[1+3+5+……+（2n-1）]　　解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有　　S（1）=1　　S（2）=1+3=4　　S（3）=1+3+5=9　　S（4）=1+3+5+7=16　　S（5）=1+3+5+7+9=25　　可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们

4、用几个例子来说明这一点。　　考?]形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。　　这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n

5、]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。　　现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n，公式　　S（n）=[n2][……]（1）　　总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。　　2数学归纳法　　2.1数学归纳法的定义

6、　　n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。　　2.2运用数学归纳法证题的步骤　　（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。　　（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。　　容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时

7、，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。　　在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.　　形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这

8、个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。　　例、当n>1且n∈N时，求证：　　[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]