可分离变量的微分方程

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1、可分离变量的微分方程§12．2可分离变量的微分方程观察与分析对称形式的一阶微分方程、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解法铀的衰变问题降落伞下落速度问题可分离变量的微分方程观察与分析：1．求微分方程y2x的通解．把方程两边积分，得yx2C，这就是方程的通解这里积分后不再加任意常数．2．求微分方程y2xy2的通解．接积分不能求出通解．可分离变量的微分方程观察与分析：一般地，如果一阶微分方程yj(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式，则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x

2、)C，由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解．2．求微分方程y2xy2的通解．可分离变量的微分方程观察与分析：对称形式的一阶微分方程：一阶微分方程有时也写成如下对称形式：P(x，y)dxQ(x，y)dy0在这种方程中，变量x与y是对称的．就是说既可把x看作自变量、y看作未知函数，又可把y看作自变量、x看作未知函数．可分离变量的微分方程：如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．可分离变量的微分方程的解法：第一步分离变量，将方程yj

3、(x,y)写成g(y)dyf(x)dx的形式；设积分后得G(y)F(x)C；第三步求出由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数yF(x)或xY(y)．以上G(y)F(x)C，yF(x)或xY(y)都是方程的通解，其中G(y)F(x)C称为隐式（通）解．第二步两端积分解此方程为可分离变量方程，分离变量后得两边积分得即ln

4、y

5、x2C1，例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比．已知t0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律．衰变速度与其含量成正比，故得微分方

6、程其中l(l>0)是常数，l前的曲面号表示当t增加时M单调减少．由题意，初始条件为M

7、t0M0．例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比．已知t0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律．解问题归结为求解初值问题M

8、t0M0．两边积分，得lnMltlnC，即MCelt．由初始条件，得M0Ce0C，所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0elt．降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)．根据牛顿第二运动定律Fma，得函数v(t)应满足的方程为例3设降落

9、伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为零．求降落伞下落速度与时间的函数关系．解设降落伞下落速度为v(t)．初始条件为v

10、t00．mgkv例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为零．求降落伞下落速度与时间的函数关系．解设降落伞下落速度为v(t)．v

11、t00．问题归结为求解初值问题所以原方程是可分离变量的微分方程．在分离变量后的方程两边积分，得