传感与测试技术习题课

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1、求周期方波的复指数函数形式傅里叶级数，画出幅频图和相频X(Z)周期方波信号波形图解答：在一个周期的表达式为：4/)=A(0Cnl=(1一COS/77C)77丌(>2=0,±1，±2,±3,…)CnR=0y[enR~^~Cn/mi

2、(pH=arctan(1-cosme)，/7=±1，±3,土,•••n—0，±2，±4,±6,712n=+l，+3，+5，*-=*—a?=—1，一3,一5,…CnR20a?=0,±2,±4,±6,没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。2A/5tt2A/37T2A/7U2A/7T2A/3tt2A/5tt-5co（）-3(y0•60()⑺（）3o-5o-3co()-cz?o-Tl/l（(pnn相频图周期方波复指数函数形忒频谱阁求正弦信号A：（O=x0sin（dr）的绝对均值外i和均方根值xrms解答："w

3、4中=♦£

4、x。si

5、祕

6、dz=^^smcotdtTeocoscot-4x02xk0Teo71求指数函数x（Z）=/l，（nM），f>0）的频谱解答:X(f)=[x(0•e~i2n/,dtO•f•e_jw/dz=Aoo—(“+j2;i/)tz+j2

7、w)

8、7“2+w)^(n-rctani^=-arctan^ReAX<)a单边指数衰减信号频谱图求符号函数和单位阶跃函数的频谱sgn⑺•1a)符号响数b)阶跃函数a)符号函数的频谱x(Z)=sgn(Z)+1>0<0M)处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符

9、号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号A(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(0的频谱。-atX,(Z)=sgn⑴-eat>0<0x(t)=sgn(Z)=limx,(Z)4/r/t/—>o-eate~,2jrftdt+^e~a,e~,2jrJtdt=-j^(/)=F[sgn(Z)]=limAr1(/)=-yIw)卜/0"(0=1z>0Z<0在跳变点r=0处函数值未定义，或规定i/(0)=l/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1:利用符号函数^0)=

10、+

11、sgn(Z

12、)U(f)=FW]=F[去]+[sgn(z)]=

13、j(/)+

14、-J门/⑺+研结果表明，单位阶跃信号＜0的频谱在戶0处存在一个冲激分量，这是因为w⑺含有直流分量，在预料之中。同时，由于w(0不是纯直流信号，在戶0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。解法2:利用冲激函数〉0时根据傅里叶变换的积分特性"(/)=F柳)dr古⑺XX(Z)=cos⑺0Z

15、z

16、T被截断的余弦函数频谱求被截断的余弦函数COSdJbf的傅里叶变换解：x(Z)=w(Z)cos(2^■/0Z)为矩形脉冲信号W(f)=2Tsinc(2丌Tf)cos(2^/0Z)=去(《/2"0'+e'’2'’c’

17、)所以：埔=丄w(t)ej2^+-W2"。'根据频移特性和叠加性得：w)=

18、w-/o)+

19、w+/o)=rsinc[2^(/-/0)]+7sinc[2^(/+/0)]可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动To,同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。X(Z)=cos⑺0Z

20、z

21、T被截断的余弦函数频谱求被截断的余弦函数COSdJbf的傅里叶变换解：x(Z)=w(Z)cos(2^■/0Z)为矩形脉冲信号W(f)=2Tsinc(2丌Tf)cos(2^/0Z)=去(《/2"0'+e'’2'’c’)所以：埔=丄w

22、(t)ej2^+-W2"。'根据频移特性和叠加性得：w)=

23、w-/o)+

24、w+/o)=rsinc[2^(/-/0)]+7sinc[2^(/+/0)]可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动To,同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。求指数衰减信号x^e^sin^Z的频谱解答:sin(690Z)=—

25、e^ir-e2y所以:x(t)=e—IeJ^-e2y单边指数衰减信号(Z)=e~at(a>0，Z20)的频谱密度函数为{(/)=[x