南开大学2008年数学分析考研试题

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1、南开大学2008年数学分析考研试题一．计算题1．求极限。2．求和。3．已知，求？4．设，则？5．设区域，求。二．设，，证明数列收敛，并求其极限。三．设，并且，，使，证明，使得.四．设在一致连续，且广义积分收敛，求证。五．设在上可微，对任意，，，其中，任取实数，，，证明级数收敛。六．证明函数项级数，（1）在上收敛，但不一致收敛；（2）和函数在上任意次可导。七．作变换，，，将方程变换为关于自变量方程。八．求由曲面将球体分成两部分的体积之比。九、设是上具有二阶连续导数的正函数，且，，在上有界，则。6南开大学2008年数学分析考研试题解答一、

2、1、解；2、解；3、解由已知，得，把上式代入，有，，所以4、解，，，所以。65、解、由区域关于设区域轴对称，被积函数关于是偶函数，所以。二、证明显然有，，;，；从而是压缩型迭代序列,于是得是收敛的，设，显然；在两边，令取极限得到，所以；故.三、证明方法一由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于;在利用在处连续及,即得,,结论得证.方法二由于在上连续,设,利用条件可知,对任意,存在,满足,从而由,;进而有,;存在,使得;结论得证.6四、证明由在上一致连续，得，对，，当，且时，便

3、有；由于收敛，则有，由积分平均值定理，存在，使得，于是有，对上述，存在，当时，便有；取，对任意，必存在正整数，使得，，故得.五、证明设，由题设条件，知连续、可导，且，从而，，就是熟知的压缩迭代列，，从而由于，收敛，故级数收敛。六、证明设，因为，所以在上收敛；任意，当时，有，而收敛，所以在上一致收敛；不趋向于零，6所以在上不一致收敛；对任何，存在，使得显然，在上一致收敛，在上连续，在点处连续。由于是上的任意点，所以函数在上连续。（2），，对每一正整数，显然在上内闭一致收敛，且在上连续，；故在上有任意阶的连续导数。七、解，求偏导数，并求复

4、合函数的偏导数，代入计算，适当化简，即得。，，，，6八、解球体为，球体的体积；两曲面的交线为，设，，，所以。九、证明先证存在，由，，可知在上是单调递减的，且有下界为0，根据单调有界原理，存在，由在上有界，可知在上一致连续，我们已经知道，若存在，在上一致连续，必有，结论得证。6