南开大学2000年数学分析考研试题

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1、南开大学2000年数学分析考研试题1.设，证明在点处连续，但不可微.2.设具有连续的导函数，且，，（1）证明；（2）求；（3）求.3.（1）叙述于区间上一致连续的定义；（2）设，都于区间上一致连续且有界，证明也于上一致连续，4.设函数列于区间上一致收敛于，且存在数列，使得当时，总有，证明于上有界.5.设，，，证明（1）若收敛，则也收敛.（2)如果，收敛，问是否也收敛？说明理由.6.设于上连续，于上一致收敛，证明收敛.南开大学2000年数学分析考研试题解答1.解：，6，，于是在点处连续.显然，，当时，的极限不存在，所以在点处不可微.1.（1

2、）证明由，存在，当时，有，，由此，可知；（2）解；（3）解.64.证明由于在上一致收敛于，对，存在正整数，当时，有，，，，，，即知在上有界.5、设，，证明：（1）当时，收敛；（2）当，且时，发散。（3）当，且收敛时，收敛。证明对任意正整数，，（），因为，所以，（1）当时，利用不等式，得，有界，故收敛；6（2）当，且时，，无界，所以发散；当，且时，方法一，对任意大的，然后取充分大，就可使上式成立，于是不是基本列，故发散。方法二因为，，从而发散，若不收敛于0，则发散，若收敛于0，则得，，（充分大），，于是发散。6当，且时，发散；当，且时，因为

3、，所以发散；（3）当，且存在有限，，，由于收敛，所以收敛；因为，，从而，由收敛，得收敛。例如。6、假设在中连续，如果对，积分都收敛，但积分发散，证明在上非一致收敛．证明用反证法假若在上一致收敛，　　　　　所以，当时，，有，又由在中连续，6由条件得在上一致连续，从而，且关于是一致收敛的；或者说在上连续，在中，令，可见，　即得　收敛　　　这与条件发散矛盾，所以假设不成立．故在上非一致收敛．6