恒成立能成立问题总结(详细)

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1、专业技术资料分享恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数有：例1若不等式对满足的所有都成立，求的范围。解析：将不等式化为：，构造一次型函数：原命题等价于对满足的，使恒成立。由函数图象是一条线段，知应解得，所以的范围

2、是。WORD文档下载可编辑专业技术资料分享小结：解题的关键是将看来是解关于的不等式问题转化为以为变量，为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习:(1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围。（2）对于的一切实数，不等式恒成立，求的取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立（3）当时，若上恒成立若上恒成立（4）当时，若上恒成立若上恒成立WORD文档下载可编辑专业技术资料分享例2若关于的二次不等式：的解集为，求的取值范围.解：由题意知，要使原不等

3、式的解集为，即对一切实数原不等式都成立。只须.∴的取值范围是说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑的情况，但对本题讲时式子不恒成立。2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。练习：1、已知函数的定义域为，求实数的取值范围。（答案）2、已知函数在时恒成立，求实数的取值范围。（答案）提示：构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（三）、利用函数的最值-----分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个

4、变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一：“”型一、（恒成立）WORD文档下载可编辑专业技术资料分享（1）恒成立；（2）恒成立；二、（能成立、有解）：（1）能成立；（2）能成立；三、（恰成立）（1）不等式在区间上恰成立不等式的解集为；（2）不等式在区间上恰成立不等式的解集为.四、（方程有解）方程在某个区间上有解，只需求出在区间上的值域A使。例3：设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。解：如果时，恒有意义对恒成立，恒成立。令，，又，则对恒成立，又在上为减函数，，例4：若关于

5、的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围。解：设.则关于的不等式的解集不是空集WORD文档下载可编辑专业技术资料分享在R上能成立,即，解得例5不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解能成立能成立，所以。例6（2008年上海）已知函数f(x)＝2x－若不等式2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围解：本题可通过变量分离来解决．当时，即，，，故的取值范围是例7（1990年全国）设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围．解：本题即为对于，有恒成立．这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若

6、考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立．构造函数，则问题转化为求函数在上的值域，由于函数在WORD文档下载可编辑专业技术资料分享上是单调增函数，则在上为单调增函数．于是有的最大值为，从而可得．如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值．类型二：“”型例8已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实

7、数t的取值范围.解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.　　令，　　.　　∵x∈[0,1]，　　∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.　　∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.类型三：“”型（恒成立和能成立交叉）：WORD文档下载可编辑专业技术资料分享（1）成立；例9已知两个函数，其中为实数。（1）对任意，都有成立，求的取值范围；（2）存在，使成立，求的取值范围；（3）对任意，都有，求的取值范围。解析：（1）设问题转化为时，恒成立，故。令，得。由，故由。（

8、2）据题意：存在，使成立在有解，故，由（1）知，于是得。（3）分析