高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.8

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间2021/7/5数学与计算科学学院一、同构映射的定义二、同构的有关结论§6.8线性空间的同构2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量　有唯一确定的坐标向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.这样一来，取定了V的一组基　　　　对于V中每一个向量　，令　在这组基下的坐标与　对应，就得到V到Pn的一个单射反过来，对于Pn中的任一元素是V中唯一确

2、定的元素，并且　　即　也是满射.因此，　是V到Pn的一一对应.引入2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取　　　　设则归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以从而2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院一、同构映射的定义设　　都是数域P上的线性空间，如果映射具有以下性质：则称　　　　　的一个同构映射，并称线性空间同构，记作ii)iii)i)为双射2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应例1、V为数域P上的n维线性空间，这里　　　　　

3、为　在　　　　　基下的坐标，就是一个V到Pn的同构映射，所以2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.二、同构的有关结论同构映射，则有1）2、设　　是数域P上的线性空间，　　　　的2）2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院线性相关（线性无关）.3）V中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象4）5）的逆映射　　为　　的同构映射.是的　子空间，且6）若W是V的子空间，则W在　下的象集2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院中分别取　　　　　　　即得证：1）在同构映射定义的条件iii)2）这是同构

4、映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由可得反过来，由可得2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院而　是一一对应，只有所以可得因此，　　　　　线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）.4）设　　　　　　　　　　为V中任意一组基.由2）3）知，　　　　　　　　为　的一组基.所以2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院任取I为恒等变换.5）首先　　　　　　是1－1对应，并且同理，有所以，　为　　　的同构映射.由于　是同构映射，有再由　是单射，有2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院6）首先，其次，对有W中的向量使于是有由于W为子空

5、间，所以从而有2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合所以　　　是的　子空间.显然，　也为W到　　　的同构映射，即注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院证：设为线性空间的同构3、两个同构映射的乘积还是同构映射.任取有映射，则乘积　　是　　　的1－1对应.所以，乘积　　是　　　的同构映射.2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院4、数域P上的两个有限维线性空

6、间　　同构证：若　　　由性质2之4）即得（法一）若由性质1，有2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院设　　　　　　　　　分别为V1,V2的一组基.定义　　　　　　使则　就是V1到V2的一个映射.（法二：构造同构映射）又任取　　　　　设从而，　　　所以　是单射.若　　　　　即　则2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院任取　　　　设所以　是满射.再由　的定义，有易证，对　　　　　　　　　有所以　是V1到V2的一个同构映射，故则有　　　　　　　使2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证法一：证维数相等

7、证明：首先，　　　　可表成其次，若则所以，1，i为C的一组基，又，所以，故，2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院证法二：构造同构映射则　为C到R2的一个同构映射.作对应作成实数域R上的线性空间.把实数域R看成是自身上的线性空间.例3、全体正实数R+关于加法⊕与数量乘法　：证明：　　　　并写出一个同构映射.2021/7/5§6.8线性空间的同构数学与计算科学学院证：作对应易证　为　　　的1－1对应.且对