高等代数课件(北大版)第六章线性空间§

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1、2021-9-15数学与计算科学学院引线性空间是线性代数的中心内容，它是几何言空间的抽象和推广．我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论．2021-9-15数学与计算科学学院引现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开言向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念

2、，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域,同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义.2021-9-15数学与计算科学学院数学与计算科学学院把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；组成集合的这些事物称为集合的元素．☆常用大写字母A、B、C等表示集合；用小写字母a、b、c等表示集合的元素．当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：aA；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：aA数学与计算科学学院注:关于集合没有一个

3、严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.数学与计算科学学院☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M＝｛x

4、x具有性质P｝列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.M＝｛a，a，…，a｝12n22例1M{(x,y)xy4,x,yR}例2N＝{0,1,2,3,

5、}，2Z＝{0,2,4,6,}例3M{xx210,xR}{1,1}数学与计算科学学院☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ约定：空集是任意集合的子集合.☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作BA，（读作B包含于A）BA当且仅当xBxA☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当AB且BA数学与计算科学学院交：AB{xxA且xB}；并：AB{xxA或xB}显然有，ABA;AAB练习：1、证明等式:A(AB)A．证：显然，

6、A(AB)A．又xA,则xAB，∴xA(AB)，从而,AA(AB)．故等式成立．数学与计算科学学院2、已知AB，证明：(1)ABA;(2)ABB证：1）xA,ABxBxAB,此即，AAB,又因ABA，∴ABA．2)xABxA或xB,但是AB,因此无论哪一种情况，都有xB.此即，ABB.又因BAB，∴ABB．数学与计算科学学院设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为M

7、到M´的一个映射，记作::MM'或MM'称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的原象，记作σ(a)＝a´或:aa.数学与计算科学学院①设映射:MM',集合(M){(a)aM}称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．显然，ImM'②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．数学与计算科学学院例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（是）δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4（不是）τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不

8、是）2）M＝Z，M´＝Z＋，（不是）σ：σ(n)＝

9、n

10、,nZ（是）τ：τ(n)＝

11、n

12、＋1,nZ数学与计算科学学院nn3）M＝P，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝

13、A

14、，nnAP（是）nn4）M＝P，M´＝P，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，a（PE为n级单位矩阵）（是）5）M、M´为任意两个非空集合，a是M´中的一个0固定元素.σ：σ(a)＝a，aM（是）06）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，f(x)P[x]（是）数学与计算科学学院例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM即I把M上的

15、元素映到它自身，I是一个映射，称I为M上的恒等映射或