第5讲一元二次方程

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1、第5讲　一元二次方程考纲要求备考指津1.理解一元二次方程的概念．2．熟练掌握一元二次方程的解法．3．会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.　　一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．考点一　一元二次方程的概念1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．考点二　一元二次方程的解法1．配方法如果

2、x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则2＝－q＋2.x1＝－＋，x2＝－－.二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.2．公式法方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x＝.3．因式分解法一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．考点三　一元二次方程根的情况1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(

3、a≠0)有两个相等的实数根．3．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．考点四　一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)弄清题意，确定适当的未知数；(2)寻找等量关系；(3)列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同；(4)解方程，检验并写出答案．1．写出一个有一根为1的一元二次方程：__________.2．方程(x－1)2＝4的解是__________．3.已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx－5＝0的一个解，则方程的另一个解是(　　)．A．1B．－5C．5D．－44．下列一元二次方程没有实数解的是(　　)．A．x2－2x－1＝0B

4、．(x－1)(x－3)＝0C．x2－2＝0D．x2＋x＋1＝05．解方程：x－＝5x(－x)．6．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．一、一元二次方程的概念【例1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)．A．3(x＋1)2＝2(x＋1)B．＋－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0D．x2＋2x＝x2－1解析：一元二次方程必须是有一个未知数，并且是未知数的最高次数是2的整式方程，另外当x2的系数有字母时，要注意系数不能为零．答案：A判断一元二次方程的方法：一元二次方程必须同时满足三个条件：(

5、1)是整式方程；(2)化简后只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据，缺一不可．二、一元二次方程的解法【例2】解方程x(x＋6)＝16.解法一：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0.∴(x＋8)(x－2)＝0.∴x＋8＝0或x－2＝0，∴x1＝－8，x2＝2.解法二：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0.∵a＝1，b＝6，c＝－16，∴b2－4ac＝36＋64＝100.∴x＝，∴x1＝－8，x2＝2.解法三：x2＋6x＝16，∴x2＋6x＋2＝16＋2，∴(x＋3)2＝25，∴x＋3＝±5.∴x1＝－8，x2＝2.解一元二

6、次方程时，应注意以下两点：(1)解一元二次方程要根据题目特点，选择适当的方法，若方程具有(x+m)2=n(n≥0)的形式可直接开方求解；若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解．而公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在b2-4ac≥0的条件下代入公式求解．(2)解一元二次方程主要有三种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用它.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在三种解法中，选择顺序为：分解因式法→公式法→配方法.三、一元二次方程根的判

7、别式【例3】已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是(　　)．A．－2B．－1C．0D．1解析：方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝[－(2k－1)]2－4k2＝－4k＋1＞0，k＜，它的最大整数值是0.答案：C判断一元二次方程有无实根，就是判断b2-4ac的值，看其是否小于0，b2-4ac主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数