赵树嫄微积分-第二章

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1、微积分第二章极限与连续定义1：§2.1数列的极限1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数：２.１.２数列的极限观察例1、2、3、4、5中的数列的极限思考数列的有界性与有极限之间的关系1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，2、收敛数列不等于有限数列，比如.所以如果只改变一个数列的有限项则不会改变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！几何解释:例6证所以,例7证所以,(一)考虑当，函数的变化情况Oxy§2.2函数的极限由图容易看出：例1证例２证（二）问题:函数在的过程中,

2、对应将如何表现？函数值Oxy几何解释:注意：例3证例4证例5证函数在点x=1处没有定义.左极限右极限（三）单侧极限（左极限，右极限）左极限右极限x从左侧无限趋近于x0x从右侧无限趋近于x0例6左右极限存在但不相等,例6证定理(保序性)推论定理(保号性)推论定义:（3）如果,则称β是比α低阶无穷小。一、极限运算法则定理（1）（2）都可以推广到任意有限个函数的情形.§2.5极限运算法则推论1即常数因子可以提到极限记号外面.推论2即乘方运算与极限运算可交换顺序.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,

3、分母,以分出无穷小,然后再求极限.1.夹逼准则２.6.１极限存在准则§2.6两个重要极限2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:(1)２.6.２两个重要极限(2)例５解提高题：换元解：例:解:定义:§2.7利用等价无穷小代换求极限定理(等价无穷小替换定理)证常用等价无穷小:例2解不能滥用等价无穷小代换.等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不可用于加减运算.注意例3解解错在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2－u1.u是一个整体记号,它可以

4、取正值、负值或零.有时我们也称u为变量u在u1处的差分.1函数的连续性函数增量概念：§2.8函数的连续性设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在x0点处的增量.=f(x0+x)f(x0)y=f(x)f(x0)xyOx0xxyy=f(x)此时,x=x0+x,相应地,函数在点x0点处有增量y2连续函数的概念定义３定理例３证由定义2知例４解左连续但不右连续,3函数的间断点1.跳跃间断点例4解为跳跃间断点2.可去间断点例７解注意可去间断点只要改变或者补充间

5、断处函数的定义,则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例８解例９解一、四则运算的连续性定理1例如,4连续函数运算与初等函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3证将上两步合起来:意义1.极限符号可以与函数符号互换;例11解定理4注意　定理4是定理3的特殊情况.例如,三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★

6、(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意定义:例如,5闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零

7、点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例13证由零点定理,例14证由零点定理,