计算学科中的基本概念

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1、计算学科中的基本概念4.1计算模型与二进制4.1.1计算模型与图灵机计算模型与图灵机计算模型：刻画计算这一概念的一种抽象的形式系统或数学系统。在计算科学中，是指具有状态转换特征，能够对所处理的对象的数据或信息进行表示、加工、变化、接收、输出的数学机器。计算模型的层次：计算某个（类）具体问题的计算方法；按照计算方法对应的程序完成某类问题特定计算所需要的平台。在计算能力上具有某种等价性的形式系统。计算模型的模型（一切计算模型所内含的机理）计算模型与图灵机图灵的观点及结论：凡是能用算法方法解决的问题，也一定能用图灵机解决；凡是图灵机解决不了的问题，任何算法也解决不了。与图灵机等价

2、的计算模型：递归函数λ-演算POST规范系统图灵机是从过程这一角度来刻画计算的本质，其结构简单、操作运算规则也较少，从而为更多的人所理解。图灵机图灵机由一条两端可无限延长的带子、一个读写头以及一组控制读写头工作的命令组成，图灵机写在带子上的符号为一个有穷字母表：{S0，S1，S2，…，Sp}。可以认为这个有穷字母表仅有S0、S1两个字符，其中S0可以看作是“0”，S1可以看作是“1”，由“0”和“1”组成的字母表可以表示任何一个数。由于“0”和“1”只有形式的意义，因此，也可以将S0改称为“白”，S1改称为“黑”，甚至，还可以改称为“桌子”和“老虎”，这样改称的目的在于割断

3、与直觉的联系，并加深对布尔域中的值{真，假}，以及二进制机器本质的理解。机器的控制状态表为：{q1，q2，…，qm}。将一个图灵机的初始状态设为q1，在每一个具体的图灵机中还要确定一个结束状态qw。一个给定机器的“程序”机器内的五元组（qiSjSkR（或L或N）ql）形式的指令集，五元组定义了机器在一个特定状态下读入一个特定字符时所采取的动作。5个元素的含义如下：qi表示机器目前所处的状态；Sj表示机器从方格中读入的符号；Sk表示机器用来代替Sj写入方格中的符号；R、L、N分别表示向右移一格、向左移一格、不移动；ql表示下一步机器的状态。一个机器计算的结果是从机器停止时带子

4、上的信息得到的。容易看出，q1S2S2Rq3指令和q3S3S3Lq1指令如果同时出现在机器中，当机器处于状态q1，第一条指令读入的是S2，第二条指令读入的是S3，那么机器会在两个方块之间无休止地工作。另外，如果q3S2S2Rq4和q3S2S4Lq6指令同时出现在机器中，当机器处于状态q3并在带子上扫描到符号S2时，就产生了二义性的问题，机器就无法判定。例子：b表示空格，q1表示机器的初始状态，q4表示机器的结束状态，设带子上的输入信息是10100010，读入头位对准最右边第一个为0的方格，状态为初始状态q1。规则如下：q101Lq2q110Lq3q1bbNq4q200Lq2

5、q211Lq2q2bbNq4q301Lq2q310Lq3q3bbNq4计算结果是10100011，即对给定的数加1。以上命令计算的是这样一个函数：S(x)＝x＋1。当没有输入时，即初始状态所指的方格为空格（b）时，不改变空格符，读写头不动并停机。图灵机的计算能力第一，把图灵机看作识别器，即判断带子上最初的内容能否被图灵机所接受。假定图灵机从左向右扫描完带子上的内容后停机则为接受，否则为不接受。例2一台图灵机可以设计成识别下面的序列：1000110,10011101,010101011。图灵机的计算能力第二，把图灵机看作生成器，对给定的输入集合，考察输出集合，并研究输入输出集

6、合性质之间的关系，这就研究了图灵机的生成能力。例3设一台图灵机的输入集合为In＝{1n0n│n∈N}，可设计一台图灵机，对给定的输入集合In，得到输出集合Out＝{0n1n│n∈N}。其中，N是全体自然数的集合。图灵机的计算能力第三，把图灵机看作计算器，相当于一个函数。图灵机的输入是函数的自变量的值，图灵机的输出是函数的值。例4图灵机可以计算下列函数：(1)s(x)＝x＋1；(2)o(x)＝0；(3)A(0，y)＝y＋1，A(x＋1，0)＝A(x，1)，A(x＋1，y＋1)＝A(x，A(x＋1，y))。图灵机的计算能力第一和第二个函数读者不难从图灵机的定义出发感悟到它们是图

7、灵机可以计算的函数，而第三个函数就比较复杂，一时难于判断。顺便提一下，第三个函数叫做阿克曼函数，它是阿克曼（W.Ackermann）在研究原始递归函数和递归函数的关系时给出的。这个函数在计算理论中具有重要价值。事实上，图灵机还可以计算形式上比第三个函数更复杂的函数。图灵机的计算能力图灵机可以计算S(x)＝x＋1（后继函数），N(x)＝0（零函数），Ui(n)(x1，x2，…，xn)＝xi，1≤i≤n（投影函数）上述3个函数的任意组合。从递归论中，我们知道这3个函数属于初始递归函数，任何原始递归函数都是从这3个初始递