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《1991考研数一真题及解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、Borntowin1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)设则=__________.(2)由方程所确定的函数在点处的全微分=__________.(3)已知两条直线的方程是；,则过且平行于的平面方程是__________.(4)已知当时,与是等价无穷小,则常数=__________.(5)设4阶方阵,则的逆阵=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)曲线()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数满足关系式,则等于()(A)(B
2、)(C)(D)(3)已知级数,,则级数等于()(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是Borntowin在第一象限的部分,则等于()(A)(B)(C)(D)0(5)设阶方阵、、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)求.(2)设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数.(3),其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.五、(本题满分
3、8分.)将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数的和.六、(本题满分7分.)设函数在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.七、(本题满分8分.)Borntowin已知,,,,及.(1)、为何值时,不能表示成的线性组合？(2)、为何值时,有的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
4、(1)若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则=_______.(2)随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量的概率密度为,求随机变量的分布函数.Borntowin1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果,则.所以,再对求导,由复合函数求导法则得.(2)【答案】【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义
5、是.将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得,再由全微分四则运算法则得,令,得,即.(3)【答案】【解析】所求平面过直线,因而过上的点；因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程Borntowin,即.(4)【答案】【解析】因为当时,,当时,所以有所以.因为当时,与是等价无穷小,所以,故.(5)【答案】.【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意：,.对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵.如果,这样Borntowin.再利用分块矩阵
6、求逆的法则：,易见.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,,所以为铅直渐近线,,所以为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】令,则,所以,两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解之得,其中是常数.又因为,代入,得,得Borntowin,即.(3)【答案】(C)【解析】因为(收敛级数的结合律与线性性质),所以.而,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图
7、,将区域分为四个子区域.显然,关于轴对称,关于轴对称.令,由于对及对都是奇函数,所以.而对是偶函数,对是奇函数,故有,所以,故选(A).Borntowin(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于、、均为阶矩阵,且,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式,得到、、,知、、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有,故应选(D).其实,对于先右乘再左乘,有.三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是型未定式求极限.令,则时,所以,所以.因为当时,,所
